Question

Число n равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на n . сколько таких натуральных n существует? (решение! )

Answer 1

 Запишем условие $N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)\\$
где   $x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200}$ - простые числа  
По условия $\frac{N_{1}}{N} \in C$ целое .  
Если все числа $x_{1};x_{2}...$ будут действительно различные, то из выражения 
$\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}})$ с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них  будет множитель $2^{200}$,потому что $x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1$ уже четные числа. Запишем как  $2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}})$ так как $a_{n}$ 
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.  
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой . 
для начало положим что $N=2^a*3^b*5^c$
$a+b+c=200$ 
откуда получаем , после преобразований 
$3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200}$ 
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то 
 $200-2b0\\ b-2a+2000\\ a+b-2000$
откуда с последнего  неравенства, решения будут при целых $a+b=201$ то есть все числа должны давать в сумме $201$ , но тогда $c$ что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до $4$ простых числа 
 $2^a*3^b*5^c*13^d\\ a+b+c+d=200\\$
так же после всех преобразований получаем 
$c0\\a-b+c0\\-a-b-c+2000\\a+b+c-2000$
 но отсюда так же следует что $a+b+c200$ что противоречит $d0$ 
И теперь очевидно  для $n$ взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай $N=2^a*3^b\\ N_{1}=3^a*2^{2b}\\ \frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\ a+b=200\\ 3^{200-2b}*2^{3b-200}\\ 200-2b0\\ 3b-2000\\\\ b\frac{200}{3}$
откуда   $[ \frac{200}{3} ]= 66\\ 100-66=33$ решения 
ответ $33$ 

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами