1. Вначале нам нужно найти точки пересечения графика функции с прямыми y=12 и y=15. Это позволит нам определить интервал, в котором находится искомая фигура.
Для этого приравняем функцию к y=12 и решим уравнение:
3√(2x+8) = 12
Делим обе части уравнения на 3, получаем:
√(2x+8) = 4
Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем:
2x+8=16
Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:
2x=8
Делим обе части уравнения на 2:
x=4
То есть точка пересечения с прямой y=12 равна (4, 12).
Теперь проделаем то же самое с прямой y=15:
3√(2x+8) = 15
√(2x+8) = 5
2x+8 = 25
2x = 17
x = 8,5
То есть точка пересечения с прямой y=15 равна (8,5, 15).
2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем определить интервал, на котором расположена искомая фигура, это будет интервал между x=4 и x=8,5.
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми y=12 и y=15, а также осью oy, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади фигуры ограниченной функцией на заданном интервале.
Обращаем внимание на то, что график функции ограничен сверху прямой y=15 и снизу прямой y=12.
4. Вычисляем площадь фигуры, ограниченной функцией и прямыми:
Прямая y=12 параллельна оси x, поэтому мы можем определить, что эта прямая ограничивает область снизу.
Найдем границы интервала x = 4 и x = 8.5 и подставим их в функцию , чтобы определить границы интервала по оси y:
y1=3√(2*4+8) = 12
y2=3√(2*8.5+8) ≈ 15.85
Таким образом, фигура ограничена границами x = 4 и x = 8,5, а по оси y - прямыми y=12 и y=15.
5. Площадь фигуры можно найти с помощью интеграла:
∫[a,b] [3√(2x+8) - 12 ] dx
Где [a,b] - границы по оси x (в нашем случае это 4 и 8,5).
6. Подставим границы и вычислим интеграл:
∫[4,8.5] [3√(2x+8) - 12 ] dx
В этом случае мы можем разделить интеграл на два:
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx - ∫[4,8.5] 12 dx
7. Вычисляем каждый из интегралов:
Первый интеграл, для функции :
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx
Чтобы упростить вычисления, мы можем сделать замену переменной:
2x+8 = t, dx = dt/2
Таким образом, замена переменной приводит нас к следующему интегралу:
∫[16,19] √t dt
Теперь проинтегрируем это выражение:
(2/3)(t^3/2) ∣ [16,19] = (2/3)(19^3/2 - 16^3/2)
≈ 54,06
Второй интеграл, для функции :
∫[4,8.5] 12 dx = 12x ∣ [4,8.5]
= 12(8.5 - 4)
= 12 * 4.5
= 54
8. Теперь найдем итоговую площадь фигуры, вычитая второй интеграл из первого:
54,06 - 54 = 0,06
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми y=12 и y=15, а также осью oy, составляет около 0,06 единицы площади.
Этот ответ может быть округлен до определенного числа знаков после запятой, в зависимости от требований задачи.
1. Вначале нам нужно найти точки пересечения графика функции
Для этого приравняем функцию
3√(2x+8) = 12
Делим обе части уравнения на 3, получаем:
√(2x+8) = 4
Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем:
2x+8=16
Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:
2x=8
Делим обе части уравнения на 2:
x=4
То есть точка пересечения с прямой y=12 равна (4, 12).
Теперь проделаем то же самое с прямой y=15:
3√(2x+8) = 15
√(2x+8) = 5
2x+8 = 25
2x = 17
x = 8,5
То есть точка пересечения с прямой y=15 равна (8,5, 15).
2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем определить интервал, на котором расположена искомая фигура, это будет интервал между x=4 и x=8,5.
3. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямыми y=12 и y=15, а также осью oy, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади фигуры ограниченной функцией на заданном интервале.
Обращаем внимание на то, что график функции
4. Вычисляем площадь фигуры, ограниченной функцией и прямыми:
Прямая y=12 параллельна оси x, поэтому мы можем определить, что эта прямая ограничивает область снизу.
Найдем границы интервала x = 4 и x = 8.5 и подставим их в функцию
y1=3√(2*4+8) = 12
y2=3√(2*8.5+8) ≈ 15.85
Таким образом, фигура ограничена границами x = 4 и x = 8,5, а по оси y - прямыми y=12 и y=15.
5. Площадь фигуры можно найти с помощью интеграла:
∫[a,b] [3√(2x+8) - 12 ] dx
Где [a,b] - границы по оси x (в нашем случае это 4 и 8,5).
6. Подставим границы и вычислим интеграл:
∫[4,8.5] [3√(2x+8) - 12 ] dx
В этом случае мы можем разделить интеграл на два:
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx - ∫[4,8.5] 12 dx
7. Вычисляем каждый из интегралов:
Первый интеграл, для функции
∫[4,8.5] 3√(2x+8) dx
Чтобы упростить вычисления, мы можем сделать замену переменной:
2x+8 = t, dx = dt/2
Таким образом, замена переменной приводит нас к следующему интегралу:
∫[16,19] √t dt
Теперь проинтегрируем это выражение:
(2/3)(t^3/2) ∣ [16,19] = (2/3)(19^3/2 - 16^3/2)
≈ 54,06
Второй интеграл, для функции
∫[4,8.5] 12 dx = 12x ∣ [4,8.5]
= 12(8.5 - 4)
= 12 * 4.5
= 54
8. Теперь найдем итоговую площадь фигуры, вычитая второй интеграл из первого:
54,06 - 54 = 0,06
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции
Этот ответ может быть округлен до определенного числа знаков после запятой, в зависимости от требований задачи.