Сын князя Ярослава Всеволодовича, внук великого князя владимирского Всеволода III Большое Гнездо. Правил в Переяславле (ныне Переславль-Залесский), а также неоднократно занимал княжеский престол Великого Новгорода.
В 1235 г. Александр был при отце во время битвы на реке Амовже (Эмбах), где русская рать разгромила немецких рыцарей ордена меченосцев. 15 июля 1240 г. он одержал свою первую победу, в честь которой и получил прозвание Невский: на реке Ижоре, впадающей в Неву, разбил шведов. Вскоре после этого новгородцы принудили Александра оставить княжение в их городе и удалиться в отчий Переяславль.
Однако через несколько месяцев на северные русские земли напали немецкие рыцари из Ливонии; их благословил сам Папа Римский. Был захвачен Изборск, затем Псков. Новгородцы оказались вынуждены обратиться к Александру за В начале 1242 г. исход войны Великого Новгорода и Тевтонского ордена определился. Александру удалось освободить Псков, где, по сведениям немецкой Ливонской хроники, погибли 70 знатных рыцарей, а 6 взяты в плен. Затем князь повёл войска к Чудскому озеру. 5 апреля на льду состоялось решающее сражение, вошедшее в историю как Ледовое побоище. Сознательно позволив немцам, использовавшим традиционное для рыцарского воинства того времени построение клином — свиньёй, потеснить русскую пехоту в центре, Александр фланговыми ударами дружинной конницы взял противника в кольцо и наголову его разгромил.
Если полученное выражение 15k(k+2) кратно 120, то k(k+2) кратно 8.
Поскольку k=2,4,6,..., то m=k/2=1,2,3,..., в таком случае, k=2m и 2m(2m+2) кратно 8, тогда 4m(m+1) кратно 8, откуда следует, что m(m+1) кратно 2. Поскольку произведение m(m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.
Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.
Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8. Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)
Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.
Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2; Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2. Аналогично если k - чётное число.
На основании вышеизложенного приходим к выводу, что (4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.
Сын князя Ярослава Всеволодовича, внук великого князя владимирского Всеволода III Большое Гнездо. Правил в Переяславле (ныне Переславль-Залесский), а также неоднократно занимал княжеский престол Великого Новгорода.
В 1235 г. Александр был при отце во время битвы на реке Амовже (Эмбах), где русская рать разгромила немецких рыцарей ордена меченосцев. 15 июля 1240 г. он одержал свою первую победу, в честь которой и получил прозвание Невский: на реке Ижоре, впадающей в Неву, разбил шведов. Вскоре после этого новгородцы принудили Александра оставить княжение в их городе и удалиться в отчий Переяславль.
Однако через несколько месяцев на северные русские земли напали немецкие рыцари из Ливонии; их благословил сам Папа Римский. Был захвачен Изборск, затем Псков. Новгородцы оказались вынуждены обратиться к Александру за В начале 1242 г. исход войны Великого Новгорода и Тевтонского ордена определился. Александру удалось освободить Псков, где, по сведениям немецкой Ливонской хроники, погибли 70 знатных рыцарей, а 6 взяты в плен. Затем князь повёл войска к Чудскому озеру. 5 апреля на льду состоялось решающее сражение, вошедшее в историю как Ледовое побоище. Сознательно позволив немцам, использовавшим традиционное для рыцарского воинства того времени построение клином — свиньёй, потеснить русскую пехоту в центре, Александр фланговыми ударами дружинной конницы
взял противника в кольцо и наголову его разгромил.