Question

3ln(x)*sin^2(y)=y' ,горю у меня решено так не подходит

Answer 1

Это уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}=3\ln x\sin^2y~~~\Rightarrow \displaystyle \int\dfrac{dy}{\sin^2y}=\int3\ln xdx$

Посчитаем интеграл правой части уравнения по частям

$\displaystyle \int3\ln xdx=\left\{\begin{array}{ccc}du=\dfrac{dx}{x}~~~ u=\ln x\\ \\ dx=dv;~~~ v=x\end{array}\right\}=3x\ln x-3\int x\cdot \dfrac{dx}{x}=\\ \\ \\ =3x\ln x-3\int dx=3x\ln x-3x+C$

Мы получим:

$-{\rm ctg}\, y=3x\ln x-3x+C~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y={\rm arcctg}\left(3x-3x\ln x+C\right)}$

Answer 2

3㏑х*sin²у=y' - это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные. 3㏑х*sin²у=dy/dx⇒ 3㏑хdx=dy/sin²у;

∫3㏑хdx=∫dy/sin²у

Возьмем интеграл от левой части. Будем интегрировать по частям по формуле ∫udv=u*v-∫vdu; ∫㏑хdx, здесь u=㏑x⇒du=dx/x; dv=dx⇒v=x.

∫3㏑хdx=3*∫㏑хdx=3*(x*㏑x-∫x*dx/x)=3*(x*㏑x-x)+c₁

Справа табличный интеграл dy/sin²у=-сtgy+c₂

3*(x*㏑x-x)+c₁=-сtgy+c₂⇒сtgy=c₂-c₁-3*(x*㏑x-x)

y=arcctg((c-3*(x*㏑x-x)); c=-c₁+c₂