Раскроем скобки в показателях степеней: 52x2-1-3*5x2+3x+2-2*56x+6=0 Вынесем 56x+6 за скобки: 56x+6*(52x2-6x-7-3*5x2-3x-4-2)=0 56x+6=0 52x2-6x-7-3*5x2-3x-4-2=0 Выражение 56x+6=0 не имеет решения, т.к. an≠0. Представим 52x2-6x-7 как 52(x2-3x-4)+1 и обозначим 5x2-3x-4 переменной t. Получим: 5t2-3t-2=0 По теореме Виета получим корни: t1=1 t2=-2/5 Корень t2=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т.к. положительное число в любой степени больше нуля. Подставим вместо t - 5x2-3x-4 5x2-3x-4=1 Заметим, что 1=50 5x2-3x-4=50 Приравниваем показатели: x2-3x-4=0 D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня: x1=(3-5)/2=-1 x2=(3+5)/2=4 ответ: x=-1 и x=4. Пример №2
5x/(√x+2)*0,24/(√x+2)=125x-4*0,04x-2
Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0 Заметим, что 0,24/(√x+2)=5-1(4/(√x+2))=5-4/(√x+2); 125x-4=53(x-4)=53x-12; 0,04x-2=5-2(x-2)=54-2x Обозначим √x переменной t>0 5t2/(t+2)*5-4/(t+2)=53t2-12*54-2t2 Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. При умножении складываем показатели степеней: 5(t2-4)/(t+2)=5t2-8 Приравниваем показатели степеней (t2-4)/(t+2)=t2-8 (t2-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2) Упростим: (t+2)*(t-2)/(t+2)=t2-8 Получим: t-2=t2-8 Перенесем все члены в правую часть уравнения: t2-t-6=0 D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. t1=(1+5)/2=3 t2=(1-5)/2=-2 t2=-2 не удовлетворяет уравнению, т.к. в случае 5(t2-4)/(t+2)=5t2-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление на 0 не определено. Подставим вместо t - √x √x=3 Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат: x=9 ответ: х=9.
Такие задачи можно делать некрасиво, с дробями, а можно красиво. Буду учить Вас красивому Первое равенство говорит о том, что если x поделить на две части, а y на 9 частей, то эти части будут совпадать. Иными словами, условие в задаче означает, что x=2p; y=9p. Аналогично второе условие означает, что y=6q; z=7q. Пока рассуждение не устраивает меня в полной мере, мне хочется, чтобы все три неизвестные выражались через какую-то одну, причем без дробей. Обращаем внимание сейчас на y, потому что он входит в оба равенства. В первом случае мы делили y на 9 частей, но это не устраивает нас во втором случае, когда мы делили y на 6 частей. Все встает на свои места, если каждую из 9 частей игрека мы поделим на 2 (получится 18 частей) (конечно, части x нам тоже придется делить пополам; получится 4 части) , а каждую из 6 частей игрека поделим на три (снова получится 18 частей, при этом части z нам тоже придется делить на три; получится 21 часть.
Окончательно это мое (надеюсь не слишком сложное) рассуждение подсказывает записать
x=4t; y=18t; z=21t.
А тогда 86=x+y+z=4t+18t+21t=43t ⇒ t=2⇒ x=8; y=36; z=42.
Надеюсь, Вам понравилось мое рассуждение, Вы его освоите, научитесь делать подобного типа рассуждения почти автоматически, что не раз Вам избегать утомительных вычислений с дробями.
Раскроем скобки в показателях степеней:
52x2-1-3*5x2+3x+2-2*56x+6=0
Вынесем 56x+6 за скобки:
56x+6*(52x2-6x-7-3*5x2-3x-4-2)=0
56x+6=0
52x2-6x-7-3*5x2-3x-4-2=0
Выражение 56x+6=0 не имеет решения, т.к. an≠0. Представим 52x2-6x-7 как 52(x2-3x-4)+1 и обозначим 5x2-3x-4 переменной t. Получим:
5t2-3t-2=0
По теореме Виета получим корни:
t1=1
t2=-2/5
Корень t2=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т.к. положительное число в любой степени больше нуля. Подставим вместо t - 5x2-3x-4
5x2-3x-4=1
Заметим, что 1=50
5x2-3x-4=50
Приравниваем показатели:
x2-3x-4=0
D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:
x1=(3-5)/2=-1
x2=(3+5)/2=4
ответ: x=-1 и x=4.
Пример №2
5x/(√x+2)*0,24/(√x+2)=125x-4*0,04x-2
Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0
Заметим, что 0,24/(√x+2)=5-1(4/(√x+2))=5-4/(√x+2); 125x-4=53(x-4)=53x-12; 0,04x-2=5-2(x-2)=54-2x
Обозначим √x переменной t>0
5t2/(t+2)*5-4/(t+2)=53t2-12*54-2t2
Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. При умножении складываем показатели степеней:
5(t2-4)/(t+2)=5t2-8
Приравниваем показатели степеней
(t2-4)/(t+2)=t2-8
(t2-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2)
Упростим:
(t+2)*(t-2)/(t+2)=t2-8
Получим:
t-2=t2-8
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
t2-t-6=0
D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
t1=(1+5)/2=3
t2=(1-5)/2=-2
t2=-2 не удовлетворяет уравнению, т.к. в случае 5(t2-4)/(t+2)=5t2-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление на 0 не определено. Подставим вместо t - √x
√x=3
Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:
x=9
ответ: х=9.