Question

Числа 1,2,3 2012 выписали друг за другом так, что получилось число . его первую слева цифру умножили на 2 и прибавили к произведению вторую слева цифру числа. полученную сумму умножили на 2, прибавили к произведению третью цифру и так далее. наконец, прибавили последнюю слева цифру числа. с полученным числом проделали то же самое. такое преобразование продолжили до тех пор, пока не получилось однозначное число. найдите это число. данная сводится к тому что надо найти остаток от деления этого числа на 8, объясните почему это так?

Answer 1

   Это признак  Паскаля , оно утверждает что для любого числа можно найти равноостаточное число , к примеру  $375$  при делений на $8$, получим $10=8*1+2\\ 2*10=8*2+4\\$ то есть , $5+7*2+3*4=31$ они дают такие же остатки $31 \equiv 7 \ mod \ (8)\\ 375 \equiv 7 \ mod \ (8)$  (если не понятно объяснил а я думаю что это скорее всего так , посмотрите в сети  Признак Паскаля там более подробно  написано , как посмотрите смотрите продолжение) 
 Так что это значит? надо заметить что $375\\ 3*2+7=13\\ 13*2+5=31$ то есть она равна тому же числу  ,  опять воспользуемся   признаком               Паскаля  $3*2+1=7$, то есть вся задача сводится к признаку Паскаля  
 а по условию первое умножается и суммируется что и произошло здесь $3*2+1$, то есть  задача построена на этот     признак 
 то есть $375\equiv31\equiv7 \ mod (8)$  и все они суммы чисел следующие по условию
 Интересно что можно так же вывести то что , если бы числа  умножалось на $3$ , нам пришлось бы делить на $7$  и так далее  
 
 В вашем случае ответ $4$