Question

Решить подробно интеграл.методом подстановки решить неопределенный интеграл .1)интеграл lnxdx/x(sqrt1+lnx) 2)интеграл sinxcos^3xdx/1+cos^2x решить подробно.

Answer 1

$1)\; \int \frac{lnx\cdot dx}{x\cdot \sqrt{1+lnx}}=\int \frac{lnx\cdot \frac{dx}{x}}{\sqrt{1+lnx}}=[\ t=lnx,\; dt=\frac{dx}{x}\, ]=\\\\=\int \frac{t\cdot dt}{\sqrt{1+t}}=[\, z=\sqrt{1+t},\; z^2=1+t,\, t=z^2-1,\, dt=2z\, dz\, ]=\\\\=\int \frac{(z^2-1)\cdot 2z\, dz}{z}=2\int (z^2-1)\, dz=2(\frac{z^3}{3}-z)+C=\\\\=\frac{2}{3}\sqrt{(1+lnx)^3}-2\sqrt{1+lnx}}+C$

$2)\; \int \frac{sinx\cdot cos^3x\, dx}{1+cos^2x}=[\, t=cosx,\, dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int \frac{t^3\cdot dt}{1+t^2}=-\int (t-\frac{t}{1+t^2})\, dt=-\int t\, dt+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{1+t^2}=\\\\=-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\int \frac{d(1+t^2)}{1+t^2}=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln|1+t^2|+C=\\\\=-\frac{cos^2x}{2}+\frac{1}{2}ln(1+cos^2x)+C$