Антуан де Сент-Екзюпері – видатний французький письменник-гуманіст, льотчик, філософ; автор таких відомих творів, як "Льотчик" (1926), "Південний поштовий" (1929), "Нічний політ" (1931), "Земля людей" (1939), "Військовий льотчик" (1942), "Маленький принц" (1942). Борець-антифашист, він віддав життя за свободу Франції.
Дана функция у = x^3-3x^2+4 1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет. 2-Выяснить является ли чётной или нечётной. Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x³ - 3*x² + 4 = 4 - x³ - 3*x - Нет x³ - 3*x² + 4 = -4 - -x³ - -3*x² - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. 3-определить точки пересечения функции с координатными осями . График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x³−3x²+4=0. В кубическом уравнении надо пробовать поиски корней с +-1. Подходит х = -1. Тогда заданное уравнение можно разложить на множители, поделив исходное уравнение на х+1. Получаем x³−3x²+4 = (х+1)(х²-4х+4) = (х+1)(х-2)² = 0. Имеем 2 корня: х = -1 и х = 2. График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 + 4. 0³−3*0²+4 = 4.Точка: (0, 4) 4-найти критические точки функции. Находим производную и приравниваем её нулю: y' = 3x²-6x = 3x(x-2). Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.5-определить промежутки монотонности (возрастания,убывания). Исследуем поведение производной вблизи критических точек. х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5 y'=3x^2-6x 3.75 0 -2.25 -2.25 0 3.75. Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает. Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo) Возрастает на промежутках [0, 2] 6-определить точки экстремума. Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2. Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции. Минимум функции в точке: x = 2, Максимум функции в точке: х = 0. 7 -определить максимальное и минимальное значение функции. Значения функции в экстремальных точках: х = 2, у = 8-3*4+4 = 0, х = 0, у = 4.8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой,найти точки перегиба. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, d2/dx2f(x)=6(x−1)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=1 Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [1, oo) Выпуклая на промежутках (-oo, 1].
Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Решение: Найдем уравнение касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1. Уравнение касательной записывается по формуле
y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)
Найдем значение y(x₀)
y(x₀) = х₀/(2х₀ — 1) Так как х₀=1, то y(1) = 1/(2*1 — 1)=1 Найдем производную функции Значение производной функции в точке x₀=1 y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1 Запишем уравнение касательной
y =-(x-1)+1=-x+2 Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат При х=0 у=2 и х=2 у=0 (0;2) и (2;0) Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2
Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰) с катетами равными 2 S=(a*b)/2=2*2/2=2
![S_{TP}= \int\limits^2_0 {(-x+2)} \, dx=(- \frac{x^2}{2}+2x) \left[\begin{array}{ccc}2\\0\end{array}\right]= - \frac{2^2}{2}+2*2=2](/tpl/images/0775/6294/ffaa8.png)
