Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем настоящем параграфе.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.
Доказательство. Введем следующие обозначения: Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz. Так как Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.
Приведем краткую запись доказательства теоремы.
Замечания:
1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел. 2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство Следующую теорему мы именно так и оформим.
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.
Пример 1. Вычислить Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:
Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее». Пример 2. Вычислить Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь. Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:
Пример 3. Вычислить: Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде , наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:
Пример 4. Выполнить действия: Решение, а) Имеем: б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. Продолжим изучение свойств радикалов.
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение. Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3
1.Если затопление в селе или частном секторе, отогнать скот в безопасные места, отдаленные от зоны затопления. 2.Занять ближайшее безопасное возвышенное место и быть готовым к организованной эвакуации по воде. 3.Оставайтесь на нем до прибытия 4.Принять меры, позволяющие своевременно обнаружить людей, отрезанных водой и нуждающихся в 1)в светлое время — вывесить на высоком месте полотнища (например, белое или цветное полотенце); 2)в темное время — подавать световые сигналы: разведите костер, зажгите фонарь, подавайте сигналы фонариком.
2. В здании! 1)отключить воду, газ, электричество; погасить огонь в печах; 2)перенести на верхние этажи (чердаки) зданий ценные вещи и имущество; 3)закрыть окна и двери, при необходимости забить окна и двери первых этажей досками или фанерой.
