Двогранні кути вимірюються лінійним кутом, тобто кутом, утвореним перетином двогранного кута з площиною, перпендикулярною до його ребра.Отже, двогранний кут при основі піраміди дорівнює лінійному куті між висотою межі і її проекцією на основу. Ця проекція - відрізок, що з'єднує точку Про, в яку проектується висота піраміди на основу піраміди. Раз всі двогранні кути рівні, отже, рівні і ці відрізки і ми довели пункт б). Рівність цих проекцій доводить, що точка О рівновіддалена від сторін трикутника. Це означає, що точка О - центр вписаного кола в основу трикутника, тобто доведений пункт а).Знайдемо довжину проекції на площину підстави висот бічних граней, проведених з вершини піраміди, або, як ми довели, радіус вписаного в основу піраміди колу. У равнобедренном трикутнику АВС ВН - його висота, АН=НС=а/2.Тоді АВ=АН/cos α або AB=a/(2Cosα). BH=AB*Sinα або BH=a*Sinα/(2Cosα)=(а/2)*tgα. Sabc=(1/2)*AC*BH або Sabc=(а/2)*(а/2)*tgα=(а2/4)*tgα.Є формула площі трикутника: S=p*r, де р - півпериметр, r - радіус вписаного кола. Тоді r=S/p чи r=[(а2/4)*tgα]/p. p=2*AB+AC. Або р=2*a/(2Cosα)+а=a/cos α+а=а((1/cos α)+1)=(а*(1+cos α))/cos α.r=[(а2/4)*tgα]/[(а*(1+cos α))/cos α] або r=a*Sinα/[4(1+cos α)].Відповідь: r=a*Sinα/[4(1+cos α)].
Эту задачу можно решать двумя 1) Отрезок АМ = 28*(4/7) = 16. ВМ = √(13²+16²) = √(169+256) =√ 425 ≈ 20,61553. СМ = √(15²+16²) = √(225+256) = √481 ≈ 21,93171. Получаем площадь сечения ВМС по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 140 кв.ед. Здесь р - полусумма сторон, р = 28,27362.
2) Находим площадь основания по формуле Герона: S(ABC) = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21*8*7*6) = 84 кв.ед. Проведём секущую плоскость через ребро АА1 перпендикулярно ВС. Найдём высоту h основания: h = 2S/a = 2*84/14 = 12. Угол наклона α плоскости ВМС к основанию равен: α = arc tg(16/12) = 53,1301°. Площадь сечения ВМС равна: S = S(ABC)/(cosα) = 84/0.6 = 140 кв.ед.
