Что делать: нужно найти точки, в которых функция перестает существовать. это происходит в точках, где приходится делить на 0 или брать тангенс из pi/2 и т. д. . в данном случае у нас две попытки деления и экспонента, которая существует при любом аргументе. значит надо рассмотреть точки, где делим на 0. это: х=1 и e^x=-1, но экспонента не может быть отрицательной, поэтому проверять надо только одну точку. найдем предел функции в точке х=1+0 и х=1-0: если идем справа (х=1+0), то 1/(х-1) - принимает значение плюс бесконечность, а значит и экспонента тоже. 1+ (+бесконечность) = +бесконечность. 1/+бесконечность = +0 если идем слева (х=1-0), то 1/(х-1) - принимает значение минус бесконечность, а значит экспонента становится равной +0, сумма 1+експонента=1+0 и весь предел равен 1+0 оба предела существуют и конечны, значит это разрыв первого рода. невозможно доопределить функцию в этой точке, чтобы устранить разрыв, поэтому он неустранимый. ответ: в точке х=1 неустранимый разрыв первого рода.
Вот неплохой пример.