Question

Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если ao = 50 mn = 48 и известно что am

Answer 1

Пусть R - радиус.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Следовательно, соединив точки А, М, О и А, О, N получим два равных прямоугольных треугольника АМО и АNО, поскольку ОМ=ОN=R, а сторона ОА - общая, а сами треугольники прямоугольные.
В таком случае МN в точке пересечения (обозначим ее Р) с АО делится пополам.
То есть МР= NР= 48/2=24
К тому же отрезок АО перпендикулярен отрезку МN.
Рассмотрим треугольник АМО.
1) ОМ=R, АО =50, высота МР=24
По теореме Пифагора
АО² = ОМ² + АМ²
Следовательно,
50² = R² + АМ²,
АМ² = 50² - R²
2) Высота МР делит АО на два отрезка ОР и АР
ОР² = ОМ² - МР²,
то есть ОР² = R² - 24²
И
АР² = АМ² - МР²,
или (АО - ОР)² = АМ² - МР²,
то есть [50 - √(R² - 24²)]² = АМ² - 24²
Отсюда АМ² = [50 - √(R² - 24²)] + 24²
3) Поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части:
50² - R² = [50 - √(R² - 24²)]² + 24²
50² - R² = 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24²
-50² + R² + 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² = 0
2R² - 2•50•√(R² - 24²) = 0
R² - 50•√(R² - 24²) = 0
R² = 50•√(R² - 24²)
R²/50 = √(R² - 24²)
(R²/50)² = [√(R² - 24²)]²
(R²)²/2500 = R² - 24²
(R²)² = 2500R² - 2500•576
(R²)² - 2500R² + 1440000 = 0

Дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 =
= 6250000 - 5760000 = 490000

Первый корень уравнения:
R² = (2500 + √490000)/2=
= (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600
Следовательно, R=√1600 = 40

Второй корень уравнения:
R² = (2500 - √490000)/2 =
= (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900
Следовательно, R=√900 = 30

4) Поскольку по условию АМ<ОМ, иначе говоря, АМ<R
и из 1) известно, что
АО² = ОМ² + АМ²,
или
50² = R² + АМ²,
следовательно, АМ² = 50² - R²
подберем верный корень:
1. АМ² = 50² - R² = 2500-1600=900
АМ = √900 = 30
2. АМ² = 50² - 30² = 2500-900=1600
АМ = √1600= 40

Для выполнения условия АМ<R подходит корень R=40, при котором АМ=30

ответ: R=40