Вопрос философский. Конечно, есть более важные математические факты. Такие, например, как теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля, Птолемея, Герона, не говоря уже о теореме Пифагора.
Но смотрите: пусть в условии Вам дан радиус окружности, проходящей через основания высот треугольника, а нужно найти радиус описанной окружности. Зная про окружность девяти точек, Вы тут же скажете, что радиус описанной окружности в два раза больше, а если не знаете?
Или Вам дано расстояние между ортоцентром (то есть точкой пересечения высот треугольника) и центром описанной окружности (то есть точкой пересечения серединных перпендикуляров). А требуется найти расстояние между центроидом (то есть точкой пересечения медиан) и центром окружности, проходящей через середины сторон. Здесь также домашняя заготовка в виде теоремы Эйлера про эту самую окружность не будет лишней.
Кстати, а знаете ли Вы, что эта окружность касается (внутренним образом) вписанной окружности и (внешним образом) всех вневписанных (это так называемая теорема Фейербаха)?
И вообще знание таких фактов улучшает настроение и повышает самооценку.))
Всего 80 конфет.
Аня заметила, что если она отдаст все свои жевательные конфеты Даше, то у Даши и Оли станет поровну жевательных конфет, то есть по 80/2=40 конфет. Значит у Оли было 40 конфет. И У Ани и Даши вместе было 40 конфет.
Пусть х конфет было у Ани , у конфет у Даши.
х+у=40
Если Аня отдаст все свои жевательные конфеты Оле( у нее станет х+40 конфет), то у Оли станет в 9 раз больше жевательных конфет, чем у Даши:
х+40=9*у
х+у=40
из нижнего уравнения выразим х:
х=40-у
и подставим в верхнее:
40-у+40=9у
10у=80
у=8 - конфет у Даши
х=40-8=32 - конфет у Ани
ответ: у Ани было 32 конфет.
