На олимпиаде ученики должны были решить 10 за каждую решенную насчитывалось 5 очков а за каждую нерешенную списывалось 3 очка сколько ученик решил правильно если он получил 10 очков
Пусть х - количество решенных учеником задач. Тогда получается, что ученик не решил 10-х задач. Количество очков за решенные задачи составило 5х, а за нерешенные 3*(10-х). Составим уравнение: 5х-3(10-х)=10 5х-30+3х=10 8х=40 х=5 Ученик решил 5 задач. Можно проверить решение: если 5 задач из 10 решено, значит 5 остались нерешенными. Таким образом, ученик получил 5*5=25 очков за решенные задачи, а за нерешенные с него списали 3*5=15 очков. Всего заработано 25-15=10 очков. ответ: решено 5 задач.
Треугольник ABCABC является остроугольным, так как 62<42+5262<42+52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту AA1AA1, и пусть она делит отрезок BCBC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам ACA1ACA1 и ABA1ABA1 с общей высотой, 62−x2=AA21=42−y262−x2=AA12=42−y2. Следовательно, x2−y2=20x2−y2=20, то есть x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда x=9/2x=9/2 и y=1/2y=1/2. Последнее означает, что K=A1K=A1, то есть треугольник ABKABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы ABAB.Теперь опустим высоту BB1BB1, и тем же методом найдём CB1=15/4CB1=15/4, B1A=9/4B1A=9/4. Из этого следует, что MB1=15/4−27/8=3/8MB1=15/4−27/8=3/8, что составляет 1/101/10 от CB1CB1. Точно так же, KBKB составляет 1/101/10 от CBCB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KMKM и BB1BB1 параллельны, а потому треугольник AKMAKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AKAK.Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABKABK, откуда d=BK/2=1/4d=BK/2=1/4.
5х-3(10-х)=10
5х-30+3х=10
8х=40
х=5
Ученик решил 5 задач.
Можно проверить решение: если 5 задач из 10 решено, значит 5 остались нерешенными. Таким образом, ученик получил 5*5=25 очков за решенные задачи, а за нерешенные с него списали 3*5=15 очков. Всего заработано 25-15=10 очков.
ответ: решено 5 задач.