1. Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена.f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена: 1+ .Найдём области сходимости этого ряда. при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых х и тем более при любыхх. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то =ec=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)ex=1+ . (32)2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.Вычислим производные данной функции.f′(x)=cosx=sin(x+), f″(x)=-sinx=sin(x+),f″′(x)=-cosx=sin(x+), f(4)(x)=sinx=sin(x+), …, f(n)(x)=sin(x+), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f(4)(0)=0, …, f(2n-1)(0)=(-1)n-1, f(2n)(0)=0.Исследуем остаточный член ряда.|Rn(x)|= = так как |sin(c+(n+1)|≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞):sinx=x- . (33)3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при x(-∞;+∞):cosx=1- . (34)4. Биномиальный ряд.Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′(x)=m(1+x)m-1, f″(x)=(m-1)m(1+x)m-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)m-3, …, f(n)(x)=(m-n+1)…(m-2).(m-1)m(1+x)m-n, … Приx=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m, f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …, f(n)(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x(-1;1) имеет место разложение:(1+x)m=1…+ . (35)Ряд (35) называется биномиальным рядом.5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′(x)=x-1, f″(x)=-1.x-2=-1!x-2, f″′(x)=1.2.x-3=2!x-3, f(4)(x)=-1.2. .3.x-4=-3!x-4, …, f(n)(x)=(-1)n-1. .(n-1)!x-n, … .При x=1 получаем: f(1)=0, f′(1)=1, f″(1)=-1!, f″′(1)=2!, f(4)(1)=-3!, …, f(n)(1)=(-1)n-1(n-1)!, … .Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0;2] и что . Таким образом, при x(0;2] имеет место разложение:lnx=. (36)Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей. Примеры.1. Разложить в степенной ряд функцию .В формуле (32) сделаем замену переменной x=-t2, получим при t(-∞;+∞). Переобозначая t на x, получим нужное разложение: при x(-∞;+∞).2. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=.Очевидно, f(x)=. Обозначим x2=t и воспользуемся биноминальным рядом при m=-1.==1-t+t2-t3+…+(-1)n.tn+… , t(-1;1). (37)Возвращаясь к переменной x, получаем разложение при x(-1;1):=1-x2+x4-x6+…+(-1)n.x2n+… . (38)3. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ln(1+x).Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x(-1;1). Получим илиln(1+x)=x . (39)Можно показать, что ряд (39) имеет область сходимости (-1;1].4. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctgx.Проинтегрируем обе части равенства (38) от 0 до x при x(-1;1): илиarctgx=x . (40)Можно показать, что ряд (40) имеет область сходимости [-1;1].
Наиболее крупным среди русских философов конца XVII в. был Александр Николаевич Радищев (1749 — 1802). Он вошел в историю русской просветительской философской мысли, как смелый и решительный противник самодержавия и крепостничества. Радищев, начав образование в России, продолжил его в Лейпцигском университете, где он основательно познакомился с идеями западных философов.
Вернувшись в Россию в 1771 г., он активно включился в идейную борьбу, сочетая ее со службой в Сенате и литературной деятельностью. В своих литературных произведениях Радищев критикует крепостной строй. Особенно наглядное выражение это получило в оде “Вольность” и в “Путешествии из Петербурга в Москву”.
“В трудах Радищева можно выделить три основные политические проблемы, поставленные им. Первая и основная — описание и анализ русских общественных отношений, критика крепостного права и абсолютизма. Вторая — поиски путей и средств освобождения крестьян, обоснование и необходимость народной революции как естественного акта в тех случаях, когда социальный гнет становится нетерпимым, а власть узурпируется тиранией. И третья, намеченная слабее других, — построение общества, действительно удовлетворяющего потребности трудящихся”.
“Критика крепостничества и абсолютизма ведется Радищевым с экономической, политической и моральной точек зрения. Общественный порядок, при котором трудящееся население, обеспечивая все труды страны, влачит нищенское существование, а дворянство ведет паразитический образ жизни, он считал несправедливым”. Крепостничество, по его мнению, экономически изжило себя ввиду незаинтересованности крестьян трудиться на помещиков. Радищев полагал, что интересы крепостных крестьян и их господ непримиримы.
Идеалы просвещенной монархии не были для Радищева реальным средством изменения положения крепостных. И все же, будучи ограниченным господствующими представлениями и условиями, осознавая, что в России в тот период не было революционных сил изменить общество, отменить крепостное право, ему оставалось лишь уповать на постепенное освобождение крестьян с реформ сверху.
Возможность революции представлена в “Путешествии из Петербурга в Москву” и оде “Вольность” как относящаяся к весьма отдаленному будущему России.
Следует отметить, что идеи Радищева оказались связующим звеном в движении от философии дворянского просвещения к идеям дворянской революционности.
ответ: в доме проживает 16 человек Обьяснение: По условиям задачи от 1 по 8 квартиру включительно проживает суммарно 10 человек и в одной квартире живет не менее 1 и не более 3 человек. То есть что с 1 по 6 квартирах проживает по 1 человеку, а в с 7 по 8 квартиру проживает по 2 человека и в сумме получается 10 человек с 1 по 8 квартиру, конечно можно и немного изменить ёмкость людей в 1 квартире на 1 больше и во второй на 1 меньше, на результат никак не влияет. 6 квартир(1,2,3...,6) по 1 человеку 2 квартиры (7,8) по 2 человека Дальше указано что с 7 по 10 квартиру суммарно проживает 10 человек теперь можно исключить 2 нам известные квартиры(7,8) с их жителями, будет так что с 9 по 10 квартиру проживает суммарно 6 человек. Дальше сопоставляем нам известные результаты и делаем выводы. с 1 по 8 квартиру 10 человек суммарно, с 9 по 10 квартиры 6 человек суммарно. Вместе 10+6=16
