1.
Натуральное число делится нацело:
на 5 если его последняя цифра 0 или 5;
на 9 если сумма его цифр делится на 9.
⋮ - знак делимости нацело, например 15⋮3 - 15 кратно 3.
1) 405; 865.
2) 405 т.к. 4+5=9, 9⋮9; 972 т.к. 9+7+2=18, 18⋮9; 2394 т.к. 2+3+9+4=18.
2.
1176 = 2³·3·7²
Подробнее смотри в приложенном файле.
3.
1) 27=3³; 36=2²·3²
НОД(27, 36) = 3² = 9.
2) 168=2³·3·7; 252=2²·3²·7
НОД(168, 252) = 2²·3·7 = 4·21 = 84.
4.
1) 11; 33=11·3
НОК(11, 33) = 11·3 = 33.
2) 9=3²; 10=2·5
НОК(9, 10) = 3²·2·5 = 9·10 = 90.
3) 18=2·3²; 12=2²·3
НОК(18, 12) = 2·3²·2 = 4·9 = 36.
5.
297 = 3³·11
304 = 2⁴·19
При разложении на простые множители видно, что общих множителей нет, значит числа взаимно простые.
6.
Натуральное число делится нацело на 3 если сумма его цифр делится на 3. Пусть неизвестная цифра это х, тогда 1+9+9+x должно делится на 3, при этом x - цифра. Получаем, что при x=2: 1+9+9+2=21⋮3; при x=5: 1+9+9+5=24⋮3; при x=8: 1+9+9+8=27⋮3. Запишем варианты чисел:
1992, 1995, 1998.
7.
Найдём НОК чисел 12 и 15.
12=2²·3; 15=3·5
НОК(12, 15) = 2²·3·5 = 4·15 = 60
Получается, что фермер мог собрать 60·k кг яблок, где k - натур. числ.
Для возможной массы яблок подходит только 60·3=180кг - ответ.
1) Одна из чашек перевесит, значит, фальшивая монета на более легкой чашке. Тогда берем эти 27 монет, среди которых одна фальшивая, и кладем на чашки весов по 9 из них, 9 оставляем на столе. Если одна из чашек перевесит, то фальшивая монета на другой, если весы в равновесии, монета среди 9 монет на столе. Берем теперь 9 монет, среди которых одна фальшивая. Кладем на чашки весов по 3 монеты, 3 монеты оставляем на столе. Если одна из чашек перевесит, то фальшивая монета на другой, если весы в равновесии, то фальшивая монета среди 3 монет на столе. Теперь берем 3 монеты, среди которых одна фальшивая, кладем по одной на чашки весов, одну оставляем на столе. Если одна из чашек перевесит, то фальшивая монета на другой, если весы в равновесии, то фальшивая монета на столе!
2) Теперь вернемся назад, к случаю когда весы после первого взвешивания остались в равновесии. Значит, фальшивая монета среди 26 монет на столе, и нам надо за 3 взвешивания найти ее. Ну, раз мы из 27 монет знаем как найти фальшивую за три взвешивания, то уж из 26 найдем, верно? ! Делим 26 монет на три кучки - на чашки весов кладем по 9 монет, восемь оставляем на столе. Если одна из чашек перевесит, то мы уже знаем, как найти фальшивую из 9 за два взвешивания, а если весы в равновесии, то фальшивая среди восьми на столе. Делим эти восемь монет, на чашки весов кладем по три монеты, две оставляем на столе. Если опять одна из чашек перевесит, то мы знаем как найти одну фальшивую монету из 3 за одно взвешивание, а если весы останутся в равновесии, то значит одна из двух на столе - фальшивая. Взвешиваем эти две монеты - и определяем, какая из них легче! Разница с первым случаем в том, что при последнем взвешивании не остается монеты на столе, ну так нам и надо! Главное, чтобы БОЛЬШЕ ОДНОЙ не осталось, а если их нет, так просто нам еще легче!
Никакой "статистики" в этой задаче нет. Если мы знаем, легче или тяжелее фальшивая монета, чем все остальные, то при любом количестве монет от 3^(N-1)+1 до 3^N (^ - знак возведения в степень) , фальшивую монету можно найти МАКСИМУМ за N взвешиваний (можно случайно и быстрее, если монет меньше чем 3^N-1 и если при этом ПОВЕЗЕТ, но за N взвешиваний - ОБЯЗАТЕЛЬНО!) . Так, при количестве монет от 2 до 3 - за одно, от 4 до 9 - за два, от 10 до 27 - за три, от 28 до 81 - за четыре, от 82 до 243 - за пять, от 244 до 729 - за шесть и так далее!