1) Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=7x²-2x+1 равен 26. Найти координаты точки касания.
2) Найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции f(x)=x²- 4x+8 x=-2, x=1
ответ: 1) x₀ =2 ; y₀ = 25 .
2) S= 33 .
Пошаговое объяснение: 1) f(x) =7x²-2x+1
f'(x) =(7x²-2x+1) ' = (7x²)' -(2x)' +( 1) ' =7*(x²)' -2*(x) ' +0 =7*2x - 2*1 =14x -2
по условию задачи f'(x₀) =26 ⇔14x₀-2 =26⇔14x₀ =26+2⇔x₀=28 /14⇔
x₀ =2.
y₀ = f(₀) = f(2) = 7*2²-2*2+1 = 28 - 4 +1 =25 .
координаты точки касания x₀ =2 ; y₀ = 25 .
2)
f(x)=x²- 4x+8 ; x = - 2 , x = 1 || S _?
S = ₋ ₂ ∫¹ f(x)dx = ₋₂∫¹( x²- 4x+8)dx = (x³/3 - 2x²+8x) |₋₂ ¹ =
( 1³/3 - 2*1²+ 8*1 ) ) - ( (-2)³/3 - 2*(-2)²+8*(-2) ) = (6 +1/3) +(8/3 +24) =33 .
* * * * * * * * * * * *
f(x)=x²- 4x+8 =( x -2)² +4
1. Графиком этой функции является парабола (просто так )
2. верштна в точке (2;4) , точка минимума ;
3. ветви направлены вверх (по Oy₊ ;
4. прямая x=2 ось симметрии графика ; .
5. пересекает ось ордината в точке (0 ; 8) .
* * * * * * * * * * * *
ответ: На каждой чаше не более чем две гири. (по одной или по две)
Пошаговое объяснение:
Поскольку, если поменять гири с одинаковыми номерами местами, правая чаша перевешивает или сравнивается с левой, то гиря на левой чаше с n номером всегда тяжелее гири правой гири с n-м номером. (n=1,2,3...k)
Пусть:
M1n - масса n-гири в левой чаше , M2n - масса n-гири справа.
Обозначим : Xn = M1n -M2n >0
Тогда масса груза на левой чаше , на :
X= X1 + X2 + X3 ...+Xk больше чем на правой чаше.
При обмене гирь с одним номером , из разности масс X вычитается
2*M1n и прибавляется 2*M2n
X' = X1 + X2 + X3 ...+Xk -2*M1n +2*M2n = X1 + X2 + X3 ...+Xk - 2*Xn = X1 + X2 +Xn-1 -Xn + Xn+1 +Xn+2+Xk
Поскольку правая чаша перевешивает или уравнивает левую, то X'<0
(X1 + X2 +Xn-1 + Xn+1 +Xn+2+Xk) -Xn <=0
То есть это значит, что любая из взятых разностей не меньше суммы всех остальных разностей, а значит не меньше и их частичных сумм. (cумм некоторых из оставшихся)
Пусть таких разностей более 2 , то есть существует как минимум 3 разности : X1, X2,X3 , тогда
X1+X2 <=X3
X1+X3 <=X2
Сложим попарно эти неравенства :
2*X1 +X2 +X3 <= X2+X3
2*X1<=0
X1<=0
Но Xn>0
Мы пришли к противоречию , значит более двух гирь с каждой стороны быть не может.
Приведем пример для k=1:
M11=5
M21=4
Приведем пример для k=2:
Из уравнения
(X1 + X2 +Xn-1 + Xn+1 +Xn+2+Xk) -Xn <=0
для k=2 имеем :
X1-X2<=0
X2-X1<=0
Такое возможно только когда : X1=X2
Пусть , например,
M11=7 ; M12 = 5 ;
M21=6 ; M22= 4
X1=X2=1
7+4 = 6+5 = 11 ( верно)
