Question

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Answer 1

 Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, .  Простейшие тригонометрические уравнения. 

 Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений. 1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры   ( метод замены переменной и подстановки ).  2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.     П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .     Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:                                                                sin x + cos x – 1 = 0 ,                                преобразуем и разложим на множители выражение в                               левой части уравнения:                                  П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.     Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,                                             sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,                                             sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,                                   П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.      Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,                                2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,                                cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,                                   cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,                            3.Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:    а)  перенести все его члены в левую часть;   б)  вынести все общие множители за скобки;   в)  приравнять все множители и скобки нулю;   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на         cos ( или sin ) в старшей степени;    д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .      П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.     Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,                              tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,                              корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,                               4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:     П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7.     Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .5. Введение вс угла. Рассмотрим уравнение вида:                                            a sin x + b cos x = c ,     где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos  и sin  ( здесь  - так называемыйвс угол ), и наше уравнение принимает вид:  6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.        П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.     Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:                                         cos 4x – cos 8x = cos 4x ,                                                  cos 8x = 0 ,                                                  8x = p / 2 + pk ,                                                  x = p / 16 + pk / 8 . 7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.                                                                                                                                                   П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .