Question

Нужна с интегралом: интеграл от пи до 0= e^x*cos^2xdx

Answer 1

$\int\limits^ \pi _0 {e^xcos^2x} \, dx= \int\limits^ \pi _0 {e^x(1+cos2x)/2} \, dx=1/2( \int\limits^ \pi _0 {e^x} \, dx + \int\limits^ \pi _0 {e^xcos2x} \, dx )$
найдем интеграл $\int\limits {e^xcos2x} \, dx$
u = cos2x      du=-1/2sin2xdx
dv=e^xdx        v=e^x
$\int\limits {e^xcos2x} \, dx =e^xcos2x+ 1/2\int\limits {e^xsin2x} \, dx =$
u = sin2x      du=1/2cos2xdx
dv=e^xdx        v=e^x
=$e^xcos2x+1/2(e^xsin2x-1/2 \int\limits {e^xcos2x} \, dx )=$$e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx$
$\int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx$
$5/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x$
$\int\limits {e^xcos2x} \, dx= 4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x$
$1/2( {e^x} +4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x) \int\limits^ \pi _0=$$1/2 {e^x} (1 +4/5cos2x+2/5sin2x) \int\limits^ \pi _0=1/2e^ \pi (1+4/5+0)-1/2e^0(1+4/5+0)$=$9/10(e^ \pi -1)$