Question

60 , скиньте хорошие и годные материалы по решению такого рода неравенств с параметром: "при каких значениях параметра a неравенство (a-3)x^2-(a+1)x+a+1> =0 выполняется (примечание: или не выполняется) при всех действительных значениях переменной x? " без синусов, косинусов, логарифмов и других непонятных для меня (9й класс окончил) неравенств/уравнений. именно неравенства с параметром. и их решение. можно ещё кинуть материал, какими решать такого рода . только , кидайте годные материалы, а не копипасты с первого результата поиска.

Answer 1

Неравенство:
(a-3)x^2 - (a+1)x + (a+1) >= 0
В общем, нужно понять, что если ветви параболы направлены
вверх и неравенство f(x) >= 0 выполняется при любом х, то
возможны два случая, нарисованные на картинке:
Или вершина касается оси Ох (D = 0), или находится выше (D < 0).

1) Вершина параболы находится на оси Ox и D = 0.
D = (a+1)^2 - 4(a-3)(a+1) = (a+1)(a+1 - 4(a-3)) = (a+1)(13-3a) = 0
a1 = -1, a2 = 13/3

2) Вершина находится выше оси Ox и D < 0
D = (a+1)^2 - 4(a-3)(a+1) = (a+1)(a+1 - 4(a-3)) = (a+1)(13-3a) < 0
a < -1 U a > 13/3

По факту можно было решить одно неравенство
D = (a+1)^2 - 4(a-3)(a+1) = (a+1)(a+1 - 4(a-3)) = (a+1)(13-3a) <= 0
a <= -1 U a >= 13/3

Но еще нужно учесть вот какой момент.
Если член x^2 = 0, то парабола вырождается в прямую, и она уже не будет положительна при любых х. То есть при каком-то х она пересечет ось Ох и станет отрицательной.
Поэтому a =/= 3 = 9/3 < 13/3.
Но нам повезло, число 3 и так не входит в ответ.
ответ: a принадлежит (-oo; -1] U [13/3; +oo)