Question

Найдите а, если площадь фигуры,ограниченной линиями y=2^x , y=4^x , x=a равна log 4 (e)

Answer 1

Найдем точки пересечения графиков:
$2^{x}=4^{x}$
$2^{x}=2^{2x}$
$2^{x}-2^{2x}=0$
$2^{x}*(1-2^{x})=0$
$1-2^{x}=0$
$x_{1}=0$
$x_{2}=a$

Тогда:
$S= \int\limits^a_0 {(4^{x}-2^{x})} \, dx=log_{4}e$
$\int\limits^a_0 {(4^{x}-2^{x})} \, dx= \frac{4^{x}}{ln4}-\frac{2^{x}}{ln2}|^{a}_{0}=\frac{4^{a}}{ln4}-\frac{2^{a}}{ln2}-\frac{4^{0}}{ln4}+-\frac{2^{0}}{ln2}=\frac{4^{a}}{2ln2}-\frac{2^{a}}{ln2}-\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{ln2}=\frac{2^{2a}-2*2^{a}-1+2}{2ln2}=\frac{2^{2a}-2*2^{a}+1}{2ln2}=log_{4}e$
$\frac{2^{2a}-2*2^{a}+1}{2ln2}=log_{4}e$
$2^{2a}-2*2^{a}+1=(log_{4}e)*ln4$
$2^{2a}-2*2^{a}+1=(log_{4}e)* \frac{1}{log_{4}e}$
$2^{2a}-2*2^{a}+1=1$
$2^{2a}-2*2^{a}=0$
$2^{a}*(2^{a}-2)=0$
$2^{a} \neq 0$
$2^{a}-2=0$
$2^{a}=2$
$a=1$

ответ: а=1