Родился Шуберт в пригороде Вены в многодетной семье. Еще в детстве в биографии Франца Шуберта было проявлено большое увлечение музыкой: он играл на скрипке, фортепиано с раннего возраста. В 11 лет он поступил в придворную капеллу, где стал обучаться теории, а также игре на других инструментах.Первые произведения Шуберта были написаны в 1814 году. Песенная музыка Шуберта была продолжением стиля Бетховена. Первую популярность композитор Шуберт ощутил в 1816 году после написания «Лесной царь». Дальнейшее творчество Шуберта еще более раскрыло его мелодический талант. Особенно отмечены песни, симфонии Шуберта из сборников «Прекрасная мельничиха», «Зимний путь».«Серенада» Шуберта из сборника «Лебединая песня», а также песни «Приют», «У моря» обрели мировую известность. Некоторые произведения, например, неоконченная симфония Шуберта (си минор), большая симфония и прочие, являются продолжением музыки Бетховена.На протяжении всей биографии творчество Шуберта было очень производительным. Великий композитор написал около 600 композиций. Вальсы Шуберта составляют большую долю среди 400 танцев, написанных для игры на фортепиано в 4 руки. Не смотря на это, почти всю биографию Франца Шуберта преследовал недостаток средств. Скончался Шуберт 19 ноября 1828 года на 32 году жизни от тифа.
Конечно, я помогу вам с решением этих дифференциальных уравнений. Давайте начнем с первого уравнения:
1) y - xy' = x * sec(y/x)
Для начала давайте заменим переменные. Пусть u = y/x, тогда y = ux. Заменим y и y' в исходном уравнении:
ux - x(du/dx) = x * sec(ux/x)
ux - x(du/dx) = x * sec(u)
Теперь преобразуем уравнение, чтобы оно стало более простым:
ux - x(du/dx) = x * (1/cos(u))
Разделим оба выражения на x, чтобы получить:
u - (du/dx) = 1/cos(u)
Давайте переместим все члены с u на одну сторону и все члены с x на другую:
u - 1/cos(u) = (du/dx)
Теперь давайте разделим уравнение на (u - 1/cos(u)):
(dx)/(du) = 1/(u - 1/cos(u))
Заметим, что это уравнение разделяющихся переменных. Разделим обе части уравнения:
dx = (1/(u - 1/cos(u))) * du
Теперь, давайте проинтегрируем обе части уравнения:
∫dx = ∫(1/(u - 1/cos(u))) * du
Интегрирование может быть довольно сложным для этого уравнения, однако мы можем сделать замену переменной z = u - 1/cos(u), чтобы упростить его:
∫dx = ∫(1/z) * du
Теперь, чтобы проинтегрировать это уравнение, нам нужно использовать метод интегрирования по частям:
∫dx = ∫(1/(z)) * du
x = ∫(1/(z)) * du
x = ln|z| + C
Теперь, вернемся к изначальной замене переменной:
z = u - 1/cos(u)
И подставим обратно значение z в уравнение:
x = ln|(u - 1/cos(u))| + C
Таким образом, общим решением этого уравнения является:
y = (xln|(y/x - 1/cos(y/x))|) + C
Теперь перейдем ко второму уравнению:
2) xy' = y - xe^(y/x)
Для начала, давайте заменим переменные и введем новую переменную z = y/x, тогда y = zx.
Заменим y и y' в исходном уравнении:
x(dz/dx) = zx - xe^(zx/x)
Разделим уравнение на x:
(dz/dx) = z - e^(z)
Для этого уравнения, у нас есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. К сожалению, нет простого аналитического общего решения для этого уравнения. Однако, мы можем найти приближенное решение, используя численные методы или разложение в ряд Тейлора.
Первые частные производные
{ dz/dx = 2x + 4y - 6 = 0
{ dz/dy = -4y + 4x = 0
Получаем
{ x = y
{ 2x + 4x - 6 = 0
x = y = 1
Точка (1, 1) находится внутри заданного треугольника (D)
z(1, 1) = 1 - 2 + 4 - 6 - 1 = -4
Вторые частные производные
{ A = d2z/dx^2 = 2 > 0
{ B = d2z/dxdy = 4
{ C = d2z/dy^2 = -4
Дискриминант
Δ = AC - B^2 = 2(-4) - 4^2 = -8 - 16 = -24 < 0
Вторые производные А, В, С постоянны, поэтому Δ везде < 0,
значит, ни в одной точке нет ни максимума, ни минимума.
Посчитаем значения функции в углах треугольника (D).
z(0, 0) = -1, z(0, 3) = 0 - 2*9 + 0 - 0 - 1 = -19
z(3, 0) = 9 - 0 + 0 - 6*3 - 1 = -10
Минимум (0, 3, -19), максимум (0, 0, -1)