Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения (1+e^x)*y’=y(e^x)

Answer 1

ответ: y/(1+eˣ)=C.

Пошаговое объяснение:

Перепишем уравнение в виде (1+eˣ)*dy/dx=y*eˣ. Это уравнение с разделяющимися переменными, которое приводится к виду dy/y=eˣ*dx/(1+eˣ), или dy/y-d(1+eˣ)/(1+eˣ). Интегрируя обе части, получаем ln(y)-ln(1+eˣ)=ln(C), или y/(1+eˣ)=C.

Проверка:

y=C*(1+eˣ), y'=C*eˣ, (1+eˣ)*C*eˣ=C*(1+eˣ)*eˣ. Так как получено тождество, то решение найдено верно.

Answer 2

ответ:   $y=C(1+e^{x})$ .

Пошаговое объяснение:

$(1+e^{x})\cdot y'=y\cdot e^{x}\\\\(1+e^{x})\cdot \frac{dy}{dx}=y\cdot e^{x}\\\\(1+e^{x})\cdot dy=y\cdot e^{x}\cdot dx\; \Big |:(y\cdot (1+e^{x}))\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{e^{x}\cdot dx}{1+e^{x}}\\\\\int \frac{dy}{y}=\int \frac{d(1+e^{x})}{1+e^{x}}\\\\ln|y|=ln|1+e^{x}|+lnC\\\\lny=ln(C\cdot (1+e^{x}))\\\\y=C(1+e^{x})$