Question

Решить вероятность рождения мальчика равной 0,5,найти вероятность того,что среди 200новорожденных будет: а)100мальчиков,б)от90 до110.

Answer 1

Задача на схему Бернулли по теории вероятности.
Вероятность рождения мальчика p=0,5 тогда вероятность рождения девочки (ну в общем не мальчика) q=1-p=0,5.
Вероятность того,  что в серии из n испытаний событие выпадающее в результате одного опыта с вероятностью p, выпадет ровно m раз равна
$P(m,n)= C^{m}_{n}*p^m*n^{n-m}= \frac{n!}{m!(n-m)!} *p^m*n^{n-m}$ (1)
В нашем случае вероятность рождения 100 мальчиков из 200 случаев равна:
$P(m,n)= C^{100}_{200}*0,5^{100}*0,5^{100}= \frac{200!}{100!*100!} *0,5^{100}*0,5^{100}$
Черт! хотел слету, а тут Страшные цифры, и считать их жутко. Что смутно помнится была какая-то формула, которая при больших n и m позволяла находить значение (1) приближенно.
Ладно, это потом теперь по пункту б)
Тут, чтобы найти вероятность того, что число новорожденных мальчиков будет от 90 до 110 надо просуммировать вероятности
$P(90,200)+P(91,200)+...+P(110,200)$

Тоже в цифрах не сладко, ладно попробую покопать, Если ответ редактировать запретят, попробую протолкнуть хотя бы идею и результат в комментариях.
Да есть такая формула например формула Муавра-Лапласа

согласно ей наше выражение (1) можно приближенно посчитать так
$P_{n}(m)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi npq}} e^{- \frac{x_{m}^2}{2} }$(2)
где :
$x_m= \frac{m-np}{ \sqrt{npq}}$(3)
Для случая a)
$x_{100}= \frac{100-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5}}=0$
$P_{n}(m)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi npq}}=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi 200*0,5*0,5}}=\frac{1}{ \sqrt{100 \pi }}$≈0,056
Для пункта б) можно загнать например формулы (2) в (3) в электронную таблицу, и там
посчитать все нужные вероятности, и их сумму. Кроме того, я так подозреваю, что поскольку p=q, то распределение вероятностей будет симметричным относительно m=100. А так тут долго считать и вбивать результаты

А так искомая вероятность  для пункта б) будет≈0,31
P.S. Оригинальная таблица была Libre Office c расширением .ods

Answer 2

A) вместо формулы Бернулли при больших значениях n и N применяют формулу Лапласа
Р$_n(k)= \frac{1}{ \sqrt{npq} }$φ(x)
x=$\frac{k-np}{ \sqrt{npq} }$
φ(x) по таблице значений фунции Лапласа
n=200 p=0.5 q=0.5
x=$\frac{100-200*0.5}{ \sqrt{200*0.5*0.5} }= 0$
φ(0)=0,3989
 Р$_{200}(100)= \frac{1}{ \sqrt{200*0.5*0.5} }*0,3989$=0.056
б)  применяем интегральную теорему Лапласа
Р(90<X<110)=Ф($\frac{110-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5} }$)-Ф($\frac{90-200*0,5}{ \sqrt{200*0,5*0,5} }$)=Ф(1,41)-Ф(-1,41)=Ф(1,41)+Ф(1,41)=2Ф(1,41)=2*0,4192=0,8384