Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 4√3 , боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. найдите объём пирамиды.

Answer 1

В общем виде объем пирамиды рассчитывается по формуле:
$V = \frac{1}{3} SH$ (1)
где S - это площадь основания, а H - высота пирамиды.

Для правильной пирамиды, ввиду того, что в основании ее лежит равносторонний треугольник (следует из определения правильной пирамиды), формула расчета объема принимает вид:
$V = \frac{aH^{2}}{4 \sqrt{3} }$ (2)
где H - известная нам величина, высота пирамиды, а - это длина стороны основания пирамиды. 

К сожалению, тут нельзя рисовать, поэтому буду писать текстом, надеюсь будет понятно. 

Т.е. наша задача сводится к тому, чтобы найти длину основания пирамиды. 
Как ее найти? 
Рассмотрим треугольник, образованный высотой боковой грани, высотой пирамиды и перпендикуляром (*), восстановленным к стороне основания пирамиды, в точке пересечения с высотой боковой стороны. 

У нас получится прямоугольный треугольник. У этого треугольника согласно условия задачи один из углов равен 45 градусам. В соответствии со свойствами прямоугольного треугольник, получаем, что и второй угол равен 45 градусам, а также что у него равны катеты. Один из катетов этого треугольник нам известен, она равен H. Соответственно такое же значение будет иметь и другой катет.

Теперь рассмотрим другой треугольник. Этот треугольник  образован половиной одной из сторон основания пирамиды, биссектрисой треугольника, лежащего в основании и рассмотренным ранее перпендикуляром (*). Поскольку целиком весь треугольник основания пирамиды - это равносторонний треугольник (исходя из свойств правильной пирамиды), то угол такого треугольника равен 60 градусов. 

Биссектриса разбивает этот угол на две равный равные части, т.е. 30 градусов. Имеем прямоугольный треугольник с углом 30 градусом и противоположным катетом длиной $4 \sqrt{3}$

Из определения тангенса имеем, что длина прилежащего катета равняется

$\frac{4 \sqrt{3} }{tg(30)} =12$

Поскольку полученный катета - это половина стороны основания пирамиды, то полная длина основания пирамиды равна 2 * 12 = 24

т.е. а = 24.

Мы нашли a = 24, знаем H, подставляем все это в формулу (2)
$V = 96 \sqrt{3}$

Как-то так.