Правила умножения и деления алгебраических дробей
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, по которым проводятся соответствующие действия с обыкновенными дробями. Напомним их.
Нам известно, что при умножении обыкновенных дробей отдельно перемножаются числители и отдельно – знаменатели, первое произведение записывается числителем, а второе – знаменателем. Например, .
А деление обыкновенных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. К примеру, .
Теперь можно увидеть отчетливое сходство с правилами умножения и деления алгебраических дробей, которые мы сейчас и сформулируем.
Умножение двух и вообще любого числа алгебраических дробей в результате дает дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей. Этому правилу отвечает равенство , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b и d – ненулевые.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.
Здесь стоит обратить внимание на то, что под алгебраической дробью, обратной данной, понимают такую дробь, произведение которой с исходной тождественно равно единице. То есть, взаимно обратные алгебраические дроби определяются аналогично взаимно обратным числам. И из того, как мы определили умножение алгебраических дробей, следует, что взаимно обратные алгебраические дроби различаются тем, что у них числители и знаменатели переставлены местами. Например, обратной к алгебраической дроби будет дробь .
Пошаговое объяснение:
Если произведение >= 0, то обе скобки имеют одинаковый знак.
1) Пусть обе скобки >= 0
Первая скобка
x^2 + y^2 + 2x + 2y >= 0
x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 + 2y + 1 - 1 >= 0
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 - 2 >= 0
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 >= 2
Это область снаружи окружности с центром (-1, -1) и радиусом √2.
Вторая скобка
4 - x^2 - y^2 >= 0
x^2 + y^2 <= 4
Это область внутри окружности с центром (0, 0) и радиусом 2.
Решение - пересечение этих областей, показано на рис. а.
2) Пусть обе скобки <= 0
Первая скобка
x^2 + y^2 + 2x + 2y <= 0
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 <= 2
Это области внутри окружности с центром (-1, -1) и радиусом √2.
Вторая скобка
4 - x^2 - y^2 <= 0
x^2 + y^2 >= 4
Это область снаружи окружности с центром (0, 0) и радиусом 2
Решение - пересечение этих областей, показано на рис. б.