Пятница, 5 мая. У цифры Пять сегодня день рождения. С утра она вся в делах: сварила компот из пяти видов фруктов, сделала салат из пяти видов овощей, испекла пять сортов пирожных. Без пяти минут пять начали собираться гости, а ровно в пять часов все дружно сели за стол.
Гостями были все друзья и подружки цифры 5, которые жили и работали с ней по-соседству. Усевшись и налив в бокалы компот, они стали по очереди поздравлять цифру Пять с днем рождения.
Сначала выступил самый старший из них - Ноль.
- В жизни людей ты очень важная цифра, - сказал Ноль. - Когда ученику ставят в журнал 5, он очень радуется и гордится. А когда люди празднуют золотую свадьбу, тебя рядом со мной изображают на праздничном торте.
Затем наступил черёд Единицы.
- Ты очень простое число, хотя и намного больше меня - сказала она. - Ты делишься только на меня и на саму себя. А если тебя со мной перемножить, то получишься снова ты. Я горжусь такой подругой!
Потом выступила Двойка.
- Мы не только друзья, - сказала она, - но и похожи как близнецы. Ведь если тебя перевернуть, то нас будет трудно различить.
Тройка сказала:
- Мы - коллеги, ведь когда вспоминают о простых числах, нас всегда ставят рядом. Ведь и 3, и 5, и 53 - мы все простые числа, вот!
Четверка подняла бокал с компотом и произнесла тост:
- За дружбу! Мы с тобой тоже кое-что значим в этой жизни: ведь на нашей планете 54 моря и 45 костяшек для игры в домино!
Шестерка сказала, что их дружба с 5 замечательна тем, что, если их поставить рядом, то сумма цифр каждого из них равна произведению, т.е. 65+56=11*11.
Семерка порадовала тем, что в 75 лет людей поздравляют с юбилеем.
Восьмерка напомнила, что в сумме с Пятеркой они дают число, которого очень многие боятся.
А Девятка напомнила присутствующим, что если их с Пятеркой написать вместе, то всего лишь одной 5 не хватит до 100.
И тут все дружно поднялись, поцеловались, распрощались и отправились по домам.
ответ:а) Обозначим (Ж, З, К) упорядоченную тройку чисел, характеризующую состояние мешка на данный момент, т.е. количество жёлтых, зелёных и красных шаров в мешке. Изначально мешок находится в состоянии (1, 1, 2).
Если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и зелёный шар и заменяют их красным шаром, то мешок переходит в состояние (0, 0, 3), когда все шары в мешке — красные. Если в первый раз из мешка вынимают зелёный и красный шар и заменяют их жёлтым шаром, то мешок переходит в состояние (2, 0, 1). Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (2, 0, 1)→(1, 1, 0)→(0, 0, 1) Видим, что в мешке остался красный шар. Аналогично, если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и красный шар и заменяют их зелёным шаром, то мешок переходит в состояние (0, 2, 1). Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (0, 2, 1)→(1, 1, 0)→(0, 0, 1).
Видим, что в мешке снова остался красный шар. Таким образом, в любом случае оставшиеся в мешке шары (или шар) будут красными.
б) Легко видеть, что в мешке могут остаться зелёные шары: (3, 4, 5)→(4, 3, 4)→(3, 4, 3)→(2, 5, 2)→(1, 6, 1).
Докажем, что в любом случае оставшиеся в мешке шары будут зелёными. Так как каждый раз общее количество шаров в мешке уменьшается на 1, то процесс завершится не более чем за 11 шагов. В начальном состоянии количество жёлтых и красных шаров нечётно, а количество зелёных шаров — чётно. Поскольку за один ход (выемку и замену шаров) количество шаров каждого цвета изменяется на 1, количества жёлтых и красных шаров всегда будут одной чётности, а количество зелёных шаров — противоположной чётности. Поэтому, никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество красных шаров оба будут нулевыми, также, как никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество жёлтых шаров будут нулевыми. Следовательно, в любом случае в конце мы получим состояние, в котором все оставшиеся в мешке шары будут зелёными.
в) Обозначим f(С)=Ж − З, где Ж и З — количества жёлтых и зелёных шаров в данном состоянии С = (Ж, З, К). Предположим, что из состояния С за один шаг мы перешли в состояние С' = (Ж', З', К')
Докажем, что f(С) и f(С') дают одинаковые остатки при делении на 3. Для этого покажем, что разность Δf = f(С') ‐ f(С) делится на 3. Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Ж' = Ж −1, З' = З − 1, К'=К + 2. Δf = f(С') − f(С) = (Ж' − З') · (Ж − З) = 0.
Случай 2. Ж' = Ж ‐ 1, З' = З + 2, К' = К‐1. Δf = f(С') · f(С) = (Ж' − З') − (Ж − З) = −3.
Случай 3. Ж' = Ж + 2, З' = З − 1, К' = К − 1. Δf = f(С') − f(С) = (Ж' − З') − (Ж − З) = 3.
Видим, что f(С) и f(С') дают одинаковые остатки при делении на 3.
Для начального состояния C0(3, 4, 5) находим: f(C0) = Ж − З = 3 − 4 = −1.
Oбщее количество шаров в мешке остаётся неизменным, поскольку каждый раз два вынутых шара заменяются двумя шарами другого цвета. Если бы в конце в мешке все шары оказались бы одного цвета, то конечным состоянием было бы одно из трёх состояний (12, 0, 0), (0, 12, 0) или (0, 0, 12).
В любом случае f(Cn) будет делиться на 3, и, значит, f(C0) и f(Cn) дают разные остатки при делении на 3. Следовательно, применяя указанную процедуру, добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета, нельзя.
ответ: а) красный; б) зелёный в) нельзя
котят меньше, чем слонят на 14
35-14=21 - котят
мишек столько, сколько слонят и котят вместе 35+21=56
ответ:сшили 56 мишек