Question

X^5+x+1 нужно разложить на множители

Answer 1

Предположим, что он раскладывается на 
(x^2 + Ax + 1)(x^3 + Bx^2 + Cx + 1) =
= x^5 + Ax^4 + x^3 + Bx^4 + ABx^3 + Bx^2 + Cx^3 + ACx^2 + Cx + x^2 + Ax + 1 =
= x^5 + x^4*(A + B) + x^3*(1 + AB + C) + x^2*(B + AC + 1) + x(A + C) + 1 =
= x^5 + x + 1
Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны
{ A + B = 0 | x^4
{ 1 + AB + C = 0 | x^3
{ 1 + AC + B = 0 | x^2
{ A + C = 1 | x
Делаем подстановки
{ B = -A
{ C = 1 - A
{ 1 + A*(-A) + 1 - A = 0
{ 1 + A*(1 - A) - A = 0
Из двух последних уравнений получаем
{ A^2 + A - 2 = 0; A1 = 1; A2 = -2
{ 1 - A^2 = 0; A1 = 1; A2 = -1
Общее решение этих уравнений:
A = 1, отсюда B = -1, C = 1 - A = 0
x^5 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)