Question

Даны три различных натуральных числа, причем сумма любых двух из этих чисел делится на оставшееся. докажите, что одно из этих чисел втрое больше другого.

Answer 1

 Положим что числа  равны $a;b;c$ 
тогда по условию $\frac{a+b}{c}=k\\ \frac{b+c}{a}=n\\ \frac{a+c}{b}=m\\\\$ 
$k;n;m \in N$ 
Положим  
$\frac{a}{c}=q; \frac{b}{c}=w ; \\ \\ \frac{w}{q}+\frac{1}{q}=n \\ \frac{q}{w}+\frac{1}{w}=m \\ q+w=k ; \\\\$ 
  числа  так же  $n;m;k \in N$
 Суммируя 
  $\frac{q+1}{w}+\frac{w+1}{q}+2 = n + m \\ w\ \textgreater \ 1\\$ 
  очевидно что $q=3 ; w=2$ единственно  , так как 
  $q-1\ \textless \ w\ \textless \ q+1$      
  Откуда     $q= w$ что неверно , потому что числа разные 
  Значит одно из чисел больше в три раза другого  
  
  Теперь пусть  
  $a+b$ нацело делится на $c$  
  $a+b=c*k\\ b+c=a*n\\ a+c=b*m\\\\$ 
  откуда получаем        
     $\frac{b}{c} = \frac{n+1}{mn-1}\\ \frac{a}{c}= \frac{(m+1)(m+n+2)}{(n+2)(mn-1)} \\$  
  По таким же рассуждениям , как выше получаем , что одно из чисел больше второго в  три раза 
    
   
    
 
     
      

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте предположим, что у нас есть три различных натуральных числа: a, b и c. Нам нужно доказать, что одно из этих чисел втрое (три раза) больше другого.

Допустим, a < b < c.
Тогда мы можем записать следующее:
a + b делится на c,
b + c делится на a,
a + c делится на b.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда наша первая исходная гипотеза не доказывает рассматриваемое утверждение.
Предположим, что a + b не делится на c. В таком случае остаток от деления a + b на c больше нуля и меньше c. Он может быть представлен как (a + b) = kc + r, где k - целое число, а r - остаток.

Если мы применим тот же подход к двум другим исходным уравнениям, мы получим:
(b + c) = ka + r,
(a + c) = kb + r.

Теперь, объединяя все три уравнения, мы получим:
(a + b) + (b + c) + (a + c) = (ka + r) + (kb + r) + (kc +r).

После упрощения получим:
2(a + b + c) = (k + 1)(a + b + c) + 3r.

Теперь, поскольку a + b + c является положительным числом, мы можем разделить обе части равенства на (a + b + c) и получить:
2 = k + 1 + (3r / (a + b + c)).

Это уравнение говорит нам, что 2 должно быть больше или равно k + 1, поскольку 3r / (a + b + c) является положительным числом.

Однако, поскольку k - целое число, наибольшее целое число, на которое можно увеличить k + 1, чтобы получить значение, меньшее чем 2, будет равно 1. Таким образом, k + 1 = 1, что приводит к k = 0.

Следовательно, мы можем заметить, что все остатки r должны быть равны нулю, чтобы уравнение выполнялось.

Теперь давайте вернемся к нашим исходным уравнениям a + b, b + c и a + c. Если они принимают остаток 0 при делении на c, a и b соответственно, то a кратно c и b кратно a. Также из этих уравнений следует, что c кратно b.

Мы заметили, что изначально предположили a < b < c. С учетом вышесказанного, мы можем заключить, что ни одно из этих предположений не может быть верным, и, следовательно, доказательство не может опровергать наше утверждение, что одно из чисел втрое (три раза) больше другого.

Таким образом, мы доказали, что при данных условиях одно из трех различных натуральных чисел будет втрое больше другого.