1) Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора АВ
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4
АВ(4;4;-10), АС(2;11;-18), АД(0;2;-7).
2) Угол а между векторами АВ и АС равен.
Модули: АВ =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.
АС = √(4 + 121 + 324) = √449
cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.
а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.
3) Проекция вектора АД на вектор АВ.
Решение: Пр ba = (a · b)/|b|.
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78
Модуль вектора b = АВ определён и равен √132 = 2√33.
Пр ba = 78/(2√33) = 13√33 / 11 ≈ 6.78903.
4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Векторное произведение:
i j k
4 4 -10
2 11 -18
= i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.
S = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) = √5444 ≈ 36,89173.
5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
(АВ х АС) = (38; 52; 36), АД(0;2;-7) - определено выше.
(АВ х АС) х АД = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148
S = (1/6)*148 = 24,6667.
{ Д + Т = 1,8*А
{ Д + А = 1,25*Т
Выразим дыню в обоих уравнениях
{ Д = 1,8*А - Т
{ Д = 1,25*Т - А
Приравниваем правые части
1,8*А - Т = 1,25*Т - А
2,8*А = 2,25*Т
280*А = 225*Т
А = 225*Т/280 = 45/56*Т
Д = 1,25*Т - А = 5/4*Т - 45/56*Т = 70/56*Т - 45/56*Т = 25/56*Т
Т = 56/25*Д
А = 45/56*Т = 45/56*56/25*Д = 45/25*Д
Т + А = 56/25*Д + 45/25*Д = 101/25*Д = 404/100*Д
404 - 100 = 304.
Чтобы найти, на сколько % тыква и арбуз вест больше, чем дыня, нужно из числителя вычесть 100.
Если бы было Т + А = 2*Д = 200/100*Д, то они бы весили в 2 раза больше, то есть на 100% больше.
ответ: тыква с арбузом весят на 304% больше, чем дыня.
1) Если король стоит в углу, a1, то его можно побить с 2 клеток:
b3 и c2. Углов всего 4: a1, a8, h1, h8.
Вероятность, что король попадет в угол 4/64 = 1/16.
Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 2/63.
Знаменатель 63, а не 64, потому что осталось 63 свободных клетки.
Общая вероятность равна P1 = 1/16*2/63 = 1/(8*63)
2) Если король стоит на a2, то его можно побить с 3 клеток:
b4, c1, c3. Таких клеток 8: a2, a7, b1, b8, g1, g8, h2, h7.
Вероятность, что король попадет на такую клетку 8/64 = 1/8.
Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 3/63.
Общая вероятность равна P2 = 1/8*3/63 = 3/(8*63)
3) Если король стоит на a3, то его можно побить с 4 клеток:
b1, b5, c2, c4. Таких полей 16: a3 - a6, c1 - f1, c8 - f8, h3 - h6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь попадет на нужное поле 4/63.
Общая вероятность равна P3 = 1/4*4/63 = 1/63 = 8/(8*63)
4) Если король стоит на b2, то его можно побить с 4 клеток:
a4, c4, d3, d1. Таких клеток всего 4: b2, b7, g2, g7.
Вероятность королю попасть на такую клетку 4/64 = 1/16.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 4/63.
Общая вероятность равна P4 = 1/16*4/63 = 1/(4*63) = 2/(8*63)
5) Если король стоит на с2, то его можно побить с 6 клеток:
a1, a3, b4, d4, e1, e3. Таких клеток 16: b3 - b6, c2 - f2, c7 - f7, g3 - g6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 6/63.
Общая вероятность равна P5 = 1/4*6/63 = 6/(4*63) = 12/(8*63)
6) Если король стоит в середине доски, например, на d5.
Тогда его можно побить с 8 клеток: b4, b6, c3, c7, e3, e7, f4, f6.
Таких клеток всего 16: c3 - c6, d3 - d6, e3 - e6, f3 - f6.
Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4.
Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 8/63.
Общая вероятность равна P6 = 1/4*8/63 = 2/63 = 16/(8*63)
Итоговая вероятность равна сумме всех этих вероятностей.
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 =
= 1/(8*63) + 3/(8*63) + 8/(8*63) + 2/(8*63) + 12/(8*63) + 16/(8*63) =
= (1 + 3 + 8 + 2 + 12 + 16) / (8*63) = 42/(8*63) = 21/(4*3*21) = 1/12
ответ: 1/12