Question

Сколько всего 23-значных чисел, сумма цифр которых равна четырем?

Answer 1

Пусть у нас есть 22+4=26 пустых мест. На эти места мы раскидаем 22 перегородки. Каждая перегородка занимает одно место.  В результате, эти 26 позиций разобьются на 23 непрерывных куска.  Количество позиций в каждом таком куске соответствует значению очередной цифры. Если перегородки стоят на соседних местах (а таких большинство), то между ними нет пустых мест, и, соответственно, такая цифра равна 0. Итак 23 куска - 23 цифры. Оставшихся незаполненных позиций будет 4 - они соответствуют ненулевым цифрам. Т.к. мы знаем, что старшая цифра всегда больше 0, то на самую первую позицию перегородка не ставится,т.е.остается 25 мест. Таким образом, количество нужных 23-значных чисел равно количеству которыми мы можем расставить 22 перегородки на 25 мест, т.е. $C_{25}^{22}=25!/(22!\cdot3!)=23\cdot24\cdot25/6=2300.$

Answer 2

Когда первая цифра 4, то это одно число (все остальные нули)
когда первая цифра 3, то 1 должна быть распределена на 22 позиции, т.е. +22 числа
когда первая цифра 2, то либо 2 должна быть распределена на 22 позиции, т.е. +22 числа, либо две 1 должны быть распределены на 22 позиции, т.е. это еще 22!/(2!20!)=231 чисел
когда первая цифра 1, то либо 3 должна быть распределена на 22 позиции, т.е. +22 числа, либо 2 и 1 должны быть распределены на 22 позиции, т.е. еще 22!/20!=462 числа, и либо три 1 должны быть распределены на 22 позиции, т.е. еще 22!/(3!19!)=1540 чисел
итого 2300 чисел