Question

Найти значение параметра m , при котором сумма кубов действительных корней уравнения x^2 + (m-1)*x +(m^2)/3 = 0 будет наименьшей

Answer 1

X^2 + (m-1)*x + m^2/3 = 0
У нас должно получиться два корня, значит, D > 0
D = (m-1)^2 - 4*m^2/3 = m^2 - 2m + 1 - 4m^2/3 = -m^2/3 - 2m + 1 > 0
Умножаем на -3
m^2 + 6m - 3 < 0
D/4 = 3^2 - (-3) = 9 + 3 = 12 = (2√3)^2
m1 = -3 - 2√3 ~ -6,46; m2 = -3 + 2√3 ~ +0,46
Значения m, при которых у этого уравнения будет 2 корня:
m ∈ (-3 - 2√3; -3 + 2√3)
Сумма кубов корней уравнения
x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(x1^2 - x1*x2 + x2^2) =
= (x1 + x2)(x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 3x1*x2) =
= (x1 + x2)((x1 + x2)^2 - 3x1*x2)
По теореме Виета
x1 + x2 = -b/a = 1 - m
x1*x2 = c/a = m^2/3
Подставляем
f(m) = (1-m)((1-m)^2 - 3*m^2/3) = (1-m)(1-2m+m^2-m^2) = (1-m)(1-2m)
Это произведение будет минимально, когда производная = 0
f ' (m) = -(1 - 2m) + (1 - m)(-2) = -1 + 2m - 2 + 2m = 4m - 3 = 0
m = 3/4

Извиняюсь, это неправильный ответ, но я его все равно оставлю.
Дело в том, что полученное m = 3/4 > -3 + 2√3
При таком m у уравнения вообще не будет действительных корней.
Поэтому правильный ответ: при m = -3 + 2√3