Question

Найдите наибольшее значение функции y= корень из(8+cos^2x), на отрезке [-p/6; p/6]

Answer 1

Находим первую производную функции:
$y'=( \sqrt{8+\cos^2x} )'\cdot (8+\cos^2x)'= -\frac{\sin x\cos x}{ \sqrt{8+\cos^2x} }$
Приравниваем ее к нулю
 $y'=0\\-\frac{\sin x\cos x}{ \sqrt{8+\cos^2x} } =0$
дробь обращается в нуль тогде, когда числитель равно нулю
$\sin x\cos x=0\\ \sin x=0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, x= \pi k,k \in Z\\ \cos x=0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in Z$
Отбор корней на отрезке [-π/6 ; π/6]
k=0; x=0
n=0; x=π/2
Находим значение функции на отрезке
y(0) = 3
y(π/2) = 2√2
y(-π/6) ≈ 2.95 
y(π/6) ≈ 2.95
Итак, $\min_{[- \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]}y(x)=y(- \frac{\pi}{6})=y(- \frac{\pi}{6})=2.95\\ \max_{[- \frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]}y(x)=y(0)=3$

Answer 2

Y=√(8+cos²x)
y`=-2cosxsinx/2√(8+cos²x)=-sin2x/2√(8+cos²x)=0
sin2x=0⇒2x=0⇒x=0∈[-π/6;π/6]
y(-π/6)=√(8+cos²(-π/6))=√(8+3/4)=√(35/4)=√35/2
y(0)=√(8+cos²0)=√(8+1)=3  наибольшее
y(π/6)=√35/2