"Центр тяжести тела
Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным с тройного интеграла."
z0 = integral(z*dx*dy*dz) / integral(dx*dy*dz)
причем по z пределы интегрирования от 0 до 2/3, поскольку поверхность sqrt(x^2+y^2)=2 пересекает конус 3z=sqrt(x^2+y^2) как раз при z=2/3
integral(z*dx*dy*dz) = integral(z*(pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4z-9*z^3)*dz) = pi*(4z^2/2-9z^4/4) от 0 до 2/3 = pi*(4(2/3)^2/2-9*(2/3)^4/4) = 1.3962634
integral(dx*dy*dz) = integral((pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4-9*z^2)*dz) = pi*(4z-9z^3/3) от 0 до 2/3 = pi*(4*(2/3)-9*(2/3)^3/3) = 5.5850536
z0 = 1.3962634/5.5850536 = 0.25
Пошаговое объяснение:
1) cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Подставим это в уравнение.
2) 3 + 2cos²(x) - 1 + 3√2cos(x) = 0.
3) Заменим cos(x) = t, причем |t| ≤ 1.
4) 2t² + 3√2t + 2 = 0
D = 18 - 16 = 2
t = (-3√2±√2)/2 = -1/√2 либо t = -2√2 < - 1 - не подходит нам
5) Заменим обратно: cos(x) = -1/√2
x = ±(3π/4) + 2πn, n ∈ Z.