На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A.
Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.
Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d.
На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины .
Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности.
Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C,
следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
