Question

Докажите, что: а) если четная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет противоположный характер монотонности на отрицательной части области определения б) если нечетная функция монотонна на положительной части области определения, то она имеет тот же характер монотонности на отрицательной части области определения

Answer 1

Комбинированные уравнения, в состав которых входит хотя бы одна неограниченная функция, следует попробовать решить, применив свойство монотонных функций. 

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Если на области определения уравнения f(x) = g(x) функция f(x) возрастает (убывает), а функция g(x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня.

Можно сказать конкретнее и понятнее. 
Если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g(x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х – корень уравнения f(x) = g(x), то он единственный на этом промежутке. 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Область определения уравнения - все положительные числа ( ).

Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х. 
Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. Область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении.

Очевидно, что - корень уравнения.

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Следовательно, корень уравнения - единственный.

ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Область определения уравнения: .

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически.

Построим графики функций в одной системе координат. Из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке . 

Проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения.

ответ: 1,5.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение.

Область определения уравнения: .

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Координаты вершины параболы .

Квадратичная функция на области определения уравнения: 

а) монотонно убывает при . Значения функции изменяются при этом на промежутке . 
Значения функции 
при меняются следующим образом: . 
Уравнение на этом промежутке корней не имеет.

б) монотонно возрастает при . Очевидно, что 

Значит х = 4 – единственный корень данного уравнения. 

ответ: 4. 

Когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным