Question

Найдите область определения! 1)f(x)=2x^2-x^3//x 2)f(x)=x^4+4x^2-5//x^2-1 3)f(x)=x^2-3x-4//x+1

Answer 1

1.Найти область определения функции
а)y=6/x-2    
           x-2 ≠ 0
           x ≠ 2
     D(f) = ( - oo  ; 2 ) ∨ ( 2 ; + oo )
б)y=1/корень из 6-3x   
         6-3x > 0
         -3x > - 6            |  : ( -3)
         х <  2
     D(f) = ( - oo  ; 2 ) 

в)y=корень из x^2-3x-4
             x² - 3 x- 4 ≥ 0
         x² - 3 x- 4 =0
         х1+х2 = 3
         х1х2 = -4
           х1 = -1  , х2 = 4  
       D(f) = ( - oo  ; -1 ) ∨ ( 4 ; + oo )

2. Дана функция y=f(x),где
f(x) =  2x+5, если -2 
          (x-1)² + 4 ,если 0< x
а)  вычислите:f(-2), f(0), f(1), f(3)
     f(-2) = 2*(-2) + 5 = -4 + 5 = 1
     f(0)  =  2*0 + 5 = 0 + 5 = 5
     f(1)  = (1-1)² + 4 = 0 + 4 = 4
     f(3) = (3-1)² + 4 =4 + 4 = 8
б) найдите D(f) и E(f)
       D(f) = [ - 2 ; 4 ]
      

 На промежутке [ - 2 ; 0 ]  функция непрерывно возрастает, поэтому  на этом промежутке           f min =  f(-2) = 1      и        f max =  f(0) = 5.
E(f) = [ 1 ;  5  ]   на   промежутке [ - 2 ; 0 ]   
  
На промежутке ( 0; 4 ]   функция   y=f(x)  является квадратичной. 
  Исследуем её график, для этого сначала определим координаты вершины параболы  ( х ; y )
       f(x) =  (x-1)² + 4 =  х² - 2х + 1 + 4 = х² - 2х + 5
    По формуле координат вершины:     х  = -b / 2a  = 2 / 2 = 1
     y =  f(1)  =  1² - 2*1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
Итак,  координаты вершины параболы  ( х ; y ) =  ( 1 ; 4 ) ,  а т.к.  старший коэффициент квадратичнойфункции положителен ,  то  ветви параболы направлены вверх,  а  значит  на промежутке  ( 0; 4 ]     f min =  f(1) = 4 ,  а 
f max =  f(4) = 4² - 2*4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13.

E(f) = [ 4 ;  13  ]   на   промежутке ( 0; 4 ]
   
Значит  на всей области определения E(f) = [ 1 ;  13  ]