На 25 карточках написали числа от 1 д 25 затем карточки перевернуло и перемешались и на обратных сторонах снова написали числа от 1 до 25 после этого считали разность чисел на каждой карточке доказать что произведение этих 25 разностей четн
Докажем от противного. Допустим, что произведение всех этих разностей нечётное. Это возможно только в том случае, если каждая из разностей будет нечётной.
Для этого на оборотной стороне каждой карточки с четным номером, должен быть указан нечетный номер. А на оборотной стороне каждой карточки с нечетным номером, четный.
Но это невозможно, т.к. от 1 до 25 неравное количество чётных и нечётных чисел (нечётных на одно больше).
Следовательно, произведение этих разностей четное.
1 и 3 задачи были самыми легкими в 6-м и 5-м классах. Их решили по 5 учеников. Значит в 4-м самой легкой задачей должна быть 2-ая или 4-ая, но другая задача должна набрать больше решений в суме, ее должны решить не менее 6 учеников. Если самая легкая 4-я, то ее должны решить не менее 5 четвероклассника, тогда она будет самой легкой и в 4-м классе — не подходит по условию. Чтобы самой легкой на олимпиаде была вторая, ее должны решить не менее 3-х четвероклассников, а самой легкой в 4-м классе будет 4-я — 4 решивших.
Это возможно только в том случае, если каждая из разностей будет нечётной.
Для этого на оборотной стороне каждой карточки с четным номером, должен быть указан нечетный номер. А на оборотной стороне каждой карточки с нечетным номером, четный.
Но это невозможно, т.к. от 1 до 25 неравное количество чётных и нечётных чисел (нечётных на одно больше).
Следовательно, произведение этих разностей четное.