ответ: Разложение выражения на множители
а) sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0.
Выделим множители sinx и 2cosx за скобки:
sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;
sin²x - sinx * cosx - 2 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;
sinx * (sinx - cosx) - 2 * cosx * (sinx - cosx) = 0.
Выделим множитель sinx - cosx за скобки:
(sinx - cosx) * (sinx - 2 * cosx) = 0.
Произведение ноль, когда один из множителей ноль:
[sinx - cosx = 0
[sinx - 2 * cosx = 0
[sinx = cosx
[sinx = 2 * cosx
[tgx = 1
[tgx = 2
[x = π/4 + πk, k ∈ Z
[x = arctg2 + πk, k ∈ Z
ответ: π/4 + πk; arctg2 + πk, k ∈ Z.
Разложение на множители
б) sinx * cosx - √3 * cos²x = 0.
Выделим множитель cosx за скобки:
cosx * (sinx - √3 * cosx) = 0.
Произведение ноль, если один из множителей ноль:
[cosx = 0
[sinx - √3 * cosx = 0
[cosx = 0
[sinx = √3 * cosx
[cosx = 0
[tgx = √3
[x = π/2 + πk, k ∈ Z
[x = π/3 + πk, k ∈ Z
ответ: π/2 + πk; π/3 + πk, k ∈ Z.
Приведение к квадратному уравнению
в) 3 * sin²x - 3 * sinx * cosx + 4 * cos²x = 0.
Проверим, cosx = 0 является ли решением уравнения? Для этого заменим cosx на 0:
3 * sin²x - 3 * sinx * 0 + 4 * 0 = 0;
sinx = 0.
Но функции синус и косинус не могут одновременно обращаться в ноль, поэтому cosx = 0 не является решением уравнения. Разделим обе части уравнения на cos²x:
3 * tg²x - 3 * tgx + 4 = 0.
Решим квадратное уравнение относительно tgx:
D = b² - 4 * a * c;
D = 3² - 4 * 3 * 4;
D = 9 - 48 = -39 < 0.
Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет решений.
ответ: x ∈ Ø.
Пошаговое объяснение:
ДАНО: Y= - x⁴ + 2*x²
ИССЛЕДОВАТЬ с производных.
ДУМАЕМ силой разума - это парабола четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - ветви вниз.
РЕШЕНИЕ
Y = - x²*(x² -2) = - x²*(x - √2)*(x + √2) - формула - разность квадратов.
1. Область определения - x∈R, X∈(-∞;+∞).
Вывод - непрерывная, разрывов - нет, вертикальных асимптот - нет.
И сразу ВИДИМ четыре корня функции.
2. Пересечение с осью Х - в корнях функции: х₁,₂ = 0, х₃ = -√2, х₄ =√2
(на график)
Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)
Положительна: Х∈(-√2;0)∪(0;√2)
3. Первая производная - поиск локальных экстремумов.
Y'(x) = - 4*x³ + 4*x = -4*x*(x²-4) = -4*x(x-1)*(x+1) = 0.
Видим три корня производной: х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.
Это уже кубическая функция и тоже с отрицательным коэффициентом.
Схема знаков: (-∞) >0 (-1) <0 (0) >0 (1) <0 (+∞) - это надо видеть.
4. Локальные экстремумы и монотонность.
Максимум: Y(-1) = 1, минимум: Y(0) = 0, максимум: Y(+1) = 1 - (на график)
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) и убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
5. Вторая производная поиск точек перегиба.
Y"(x) = -12*x²+ 4 = 0. x = +/- 1/√3 = +/- √3/3 ≈ 0.58
6. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞; -0.58)∪(0.58;+∞)
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-0,58;0,58) - между корнями Y"(x).
