В основании пирамиды квадрат АВСD. МО– высота пирамиды. ( см. рис.) О– центр квадрата, точка пересечения диагоналей АС и BD.
В прямоугольном треугольнике МОС, ∠ МСО =60°, значит∠СМО=30°.
Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Поэтому ОС=4; АС=2ОС=8.
АС=BD=8 – диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
В точке пересечения делятся пополам. ОС=ОА=ОВ=OD=4
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОD:
AD²=AO²+OD²=4²+4²=32;
AD=4√2
АВ=ВС=СD=AD=4√2.
1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МE из треугольника МEС.
DE=EC=4√2/2=2√2; MC=8.
МE²=MC²–EC²=8²–(2√2)²=64–8=56.
ME=2√14.
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•ME/2=4•(4√2)•2√(14)/2=
=32√7.
2) объем пирамиды
Из прямоугольного треугольника МОC по теореме Пифагора.
МО²=МC²–ОC²=8²–4²=48.
MO=Н=4√3.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=
=(1/3)•(4√2)²•(4√3)=(128√3)/3.
3) Это угол образованный двумя апофемами боковых граней МE и МF и отрезком EF, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.
По теореме косинусов:
EF²=ME²+MF²–2•ME•MF•cosα;
(4√2)²=(2√(14))²+(2√(14))²–2•2√(14)•2√(14)•сosα.
cosα=5/7.
4) скалярное произведение векторов (MA+MC)•ME.
Cумма вектров МА и МС – диагональ параллелограмма,построенного на этих векторах и выходящая из точки М. Половина этой диагонали – вектор МО
Скалярное произведение векторов 2MO и MЕ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Угол между ними – это угол ОМЕ.
Из прямоугольного треугольника ОМЕ косинус угла ОМЕ равен отношению прилежащего катета МO к гипотенузе МЕ.
сos∠OME=MO/ME=4√3/2√14=2√3/√14.
Скалярное произведение указанных векторов равно
2•(4√3)•(2√14)•(2√3/√14)=96
5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
Треугольник АМС – равносторонний, МА=МС=АС=8.
По формуле
R=abc/4S=(8•8•8)/(4•(8•8•√3/4))=8√3/3
S=4πR²=4π•(8/√3)²=256π/3.
6) угол между АМ и плоскостью DMC
это угол между прямой АМ и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Этот перпендикуляр есть AD .
AD⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
AD⊥МК ( МК⊥СD).
Значит MD – проекция AM.
Угол AMD – между прямой AM и плоскостью MDC.
По теореме косинусов из треугольника AMD:
AD²=AM²+MD²–2•AM•MD•cosβ
(4√2)²=(8)²+(8)²–2•8•8•сosβ.
сosβ=3/4.
Пошаговое объяснение:
Обьяснения приложенны
Находим векторы:
Вектор АВ Вектор АС
x y z x y z
-8 1 1 -3 -5 2.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.
i j k | i j
-8 1 1 | -8 1
-3 -5 2 | -3 -5 = 2i - 3j + 40k + 16j + 5i + 3k =
7i + 13j + 43k = (7; 13; 43).
Находим модуль: |АВ х АС| = √(7² + 13² + 43²) =
√(49 + 169 + 1849) = √2067 ≈ 45,46427.
Площадь равна: S = (1/2)*√2067 ≈ 22,7321 кв.ед.
Можно применить другой
Находим длины сторон:
АВ = √66 ≈8,124, ВС = √62 ≈7,874, АС = √38 ≈ 6,164.
Затем по формуле Герона находим площадь.
Периметр 2p = 22,1625, полупериметр p = 11,0812.
Площадь равна S = √516,75 ≈ 22,7321.
