Question

Написать уравнение прямых проходящих через ее правый фокус и параллельны ее ассимптотам x^2/9-y^2/16=1

Answer 1

Каноническое уравнение гиперболы:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$
При этом выполняются следующие соотношения:
Расстояние от центра гиперболы (начало координат) до фокусов (c):
a²+b²=c²
Уравнения асимптот:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0 \\\\ \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$

Вычисляем.
a²=9 ⇒a=3
b²=16 ⇒b=4
a²+b²=9+16=25=c² ⇒c=5

Итак, правый фокус F имеет координаты (5;0)
Первая асимптота: x/3+y/4=0 ⇔ 4x+3y=0 ⇔ y=-4/3x
Вторая асимптота: x/3-y/4=0 ⇔ 4x-3y=0 ⇔ y=4/3x

Искомые прямые имеют следующие уравнения:
y=4/3x+b₁
y=-4/3x+b₂
и проходят через фокус F. Определяем b₁ и b₂:
0=4/3*5+b₁ ⇔ b₁=-20/3
0=-4/3*5+b₂ ⇔ b₂=20/3

Итак, уравнения искомых прямых:

y=4/3x-20/3
y=-4/3x+20/3