Пошаговое объяснение:
Разобьём всех гномов по тройкам, чтобы найти сколько из них могут стоять между гномами в колпаках одного цвета:
105:3=35, а нужно 67. Значит надо добавить к 32 тройкам по гному в таком же колпаке. Получается 32 квартета одного цвета и 3 тройки:
3×3+32×4=137.
31 гном лишний, т. е. 8 квартетов подряд должны быть одного цвета. Остаётся 16 квартетов и 3 тройки, из которых две соседние тройки должны быть одного цвета. Итак имеем 8 соседних квартетов одного цвета, 2 соседних тройки одного цвета, а также 16 квартетов и тройка разных цветов. Или всего имеем 27 наборов разных цветов. Если разместить их по кругу, то первый и последний наборы должны быть разных цветов. То есть красных наборов может быть (27-1):2=13. С каждой стороны красных наборов будут не красные наборы. Таким образом максимум 26 гномов в красных колпаках могут иметь соседа не в красном колпаке.
ось Oy - вдоль ВС
ось Oz - вдоль ВВ₁
ось Ox - вдоль BA
A(1;0;0); B₁(0;0;1); D₁(1;1;1)
уравнение плоскости AB₁D₁: Ax + By + Cz + D = 0
A·x(A) + B·x(A) + C·x(A) + D = 0
A·x(B₁) + B·x(B₁) + C·x(B₁) + D = 0
A·x(D₁) + B·x(D₁) + C·x(D₁) + D = 0
A = -D
C = -D
B = D
-Dx + Dy - Dz + D = 0
AB₁D₁: x - y + z - 1 = 0
середина отрезка ВС₁ - точка T(0;½;½)
d(T, AB₁D₁) = |1·x(T) - 1·y(T) + 1·z(T) - 1|/√(1² + 1² + 1²) = (√3)/3