Question

Постройте график функции у=(х2+1)(х+2)/ -2-х и определите при каких значениях к прямая у=кх имеет с графиком ровно одну общую точку. sos.

Answer 1

$y=\dfrac{(x^2+1)(x+2)}{-2-x}$

Область определения     -2-x≠0  ⇒   x≠-2

D(y) :   x ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)

$y=\dfrac{(x^2+1)(x+2)}{-2-x}=\dfrac{(x^2+1)(x+2)}{-(2+x)}\\ \\ \\y=-(x^2+1)$

y = - x² - 1;     x ≠ -2

График функции - квадратичная парабола, ветви направлены вниз.

Координаты вершины из уравнения функции

       x₀ = 0;   y₀ = -1

y = kx    -   прямая, проходящая через начало координат.

-x² - 1 = kx       ⇔     x² + kx + 1 = 0

Квадратное уравнение имеет один корень, когда  D = 0.

D = k² - 4 = 0    ⇔    k² = 4

k₁ = 2;      k₂ = -2

1) 2x = -x² - 1       ⇔    x² + 2x + 1 = 0        ⇔      (x + 1)² = 0

  x = -1;    y = 2x =  2·(-1)  = -2

Прямая   y = 2x   имеет с параболой одну общую точку  (-1; -2)

2) -2x = -x² - 1       ⇔    x² - 2x + 1 = 0        ⇔      (x - 1)² = 0

  x = 1;    y = -2x = -2·1  = -2

Прямая   y = -2x   имеет с параболой одну общую точку  (1; -2)

ответ :   k₁ = 2;      k₂ = -2