Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке y=2x^2-4x^3 [-1; 2]

Answer 1

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке, нужно проанализировать ее поведение внутри этого отрезка.

Данная функция имеет вид y = 2x^2 - 4x^3.

1. Найдем производную функции:
y' = 4x - 12x^2.

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки функции:
4x - 12x^2 = 0.
Общий множитель можно вынести за скобку:
4x(1 - 3x) = 0.

Таким образом, у нас есть два варианта:
а) 4x = 0, откуда x = 0,
б) 1 - 3x = 0, откуда x = 1/3.

3. Теперь проанализируем значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках:

- Подставим x = -1 в функцию:
y = 2(-1)^2 - 4(-1)^3 = 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6.

- Подставим x = 2 в функцию:
y = 2(2)^2 - 4(2)^3 = 2*4 - 4*8 = 8 - 32 = -24.

- Подставим x = 0 в функцию:
y = 2(0)^2 - 4(0)^3 = 0 - 0 = 0.

- Подставим x = 1/3 в функцию:
y = 2(1/3)^2 - 4(1/3)^3 = 2/9 - 4/27 = 6/27 - 4/27 = 2/27.

Таким образом, мы получили следующие значения функции:

- на конце отрезка x = -1, функция равна y = 6,
- на конце отрезка x = 2, функция равна y = -24,
- в критической точке x = 0, функция равна y = 0,
- в критической точке x = 1/3, функция равна y = 2/27.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1; 2] равно 6, а наименьшее значение равно -24.