Question

Единичные векторы a и b образуют угол 60 градусов. доказать что вектора 2a минус b ортогонален вектору b

Answer 1

Я обозначу скалярное произведение двух векторов треугольными скобками. Пример: $a\cdot b=:\ \textless \ a,b\ \textgreater \$
Норму вектора (его величину) обозначу $||a||$.
То есть: $||a||=\sqrt{\ \textless \ a,a\ \textgreater \ }$
Теперь решаем задачу:
Условие ортогональности векторов $\ \textless \ a,b\ \textgreater \ =0$
Давай посчитаем чему равно выражение: $\ \textless \ 2a-b,b\ \textgreater \$. Если получим ноль - векторы $2a-b$ и $b$ - ортогональны.

Считаем:
$\ \textless \ 2a-b,b\ \textgreater \ =\ \textless \ 2a,b\ \textgreater \ -\ \textless \ b,b\ \textgreater \ =2\ \textless \ a,b\ \textgreater \ -\ \textless \ b,b\ \textgreater \$
Получили: $2\ \textless \ a,b\ \textgreater \ -\ \textless \ b,b\ \textgreater \$
Дано, что угол меж $a$ и $b$ - 60 градусов а нормы векторов равны единице, следовательно:
$\ \textless \ a,b\ \textgreater \ =||a||||b||\cos(60^o)=\frac{1}{2},\ =||b||^2=1$
Получаем: $2\ \textless \ a,b\ \textgreater \ -\ \textless \ b,b\ \textgreater \ =2\frac{1}{2}-1=0$

Векторы - ортогональны.