Добрый день! Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны выразить y и x в зависимости от друг друга, чтобы получить решение в явном виде. Давайте рассмотрим пошаговое решение.
1. Начнем с самого уравнения:
dy/√y + dx = dx/√x
Перенесем dx на левую сторону:
dy/√y = dx/√x - dx
2. Объединим правые части уравнения:
dy/√y = (dx - dx√x)/√x
3. Теперь мы можем помножить обе части уравнения на √x:
√x(dy/√y) = (dx - dx√x)
4. Поделим обе части на √y:
√x(dy/√y)/(√y) = (dx - dx√x)/√y
5. Получившееся уравнение можно упростить:
√x(dy/√y) = dx(1 - √x)/√y
6. Теперь мы можем разделить на √x и на (1 - √x):
(dy/√y)/(1 - √x) = dx/√x
Обозначим (1 - √x) = t и dy/√y = du:
du/t = dx/√x
7. Применим замену переменных:
du = tdx
8. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:
∫du = ∫tdx
u = ∫tdx
9. Мы знаем, что u = ln|√y|, и t = (1 - √x), поэтому:
ln|√y| = ∫(1 - √x)dx
10. Найдем интеграл ∫(1 - √x)dx:
ln|√y| = ∫dx - ∫√xdx
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + C
11. Найдем постоянную C, используя начальные условия y = 1 при x = 0:
ln|√1| = 0 - 2/3(0)^(3/2) + C
ln(1) = C
C = 0
12. Подставим найденное значение C в выражение:
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + 0
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2)
13. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в экспоненту:
|√y| = exp(x - 2/3x^(3/2))
14. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от модуля:
(√y)^2 = [exp(x - 2/3x^(3/2))]^2
y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))
15. В итоге, получаем решение дифференциального уравнения:
y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))
Таким образом, найдено общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пожалуйста, обратите внимание, что решение данного уравнения реализовано с использованием метода разделения переменных и подходит для опытных студентов с определенным уровнем знаний в области дифференциальных уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или затруднения, не стесняйтесь задавать их.
1. Начнем с самого уравнения:
dy/√y + dx = dx/√x
Перенесем dx на левую сторону:
dy/√y = dx/√x - dx
2. Объединим правые части уравнения:
dy/√y = (dx - dx√x)/√x
3. Теперь мы можем помножить обе части уравнения на √x:
√x(dy/√y) = (dx - dx√x)
4. Поделим обе части на √y:
√x(dy/√y)/(√y) = (dx - dx√x)/√y
5. Получившееся уравнение можно упростить:
√x(dy/√y) = dx(1 - √x)/√y
6. Теперь мы можем разделить на √x и на (1 - √x):
(dy/√y)/(1 - √x) = dx/√x
Обозначим (1 - √x) = t и dy/√y = du:
du/t = dx/√x
7. Применим замену переменных:
du = tdx
8. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:
∫du = ∫tdx
u = ∫tdx
9. Мы знаем, что u = ln|√y|, и t = (1 - √x), поэтому:
ln|√y| = ∫(1 - √x)dx
10. Найдем интеграл ∫(1 - √x)dx:
ln|√y| = ∫dx - ∫√xdx
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + C
11. Найдем постоянную C, используя начальные условия y = 1 при x = 0:
ln|√1| = 0 - 2/3(0)^(3/2) + C
ln(1) = C
C = 0
12. Подставим найденное значение C в выражение:
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + 0
ln|√y| = x - 2/3x^(3/2)
13. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в экспоненту:
|√y| = exp(x - 2/3x^(3/2))
14. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от модуля:
(√y)^2 = [exp(x - 2/3x^(3/2))]^2
y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))
15. В итоге, получаем решение дифференциального уравнения:
y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))
Таким образом, найдено общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пожалуйста, обратите внимание, что решение данного уравнения реализовано с использованием метода разделения переменных и подходит для опытных студентов с определенным уровнем знаний в области дифференциальных уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или затруднения, не стесняйтесь задавать их.