Question

Найти экстремумы функции z=f(x,y) 1) z = 1 + 6x - x² - xy - y² 2) z = x² + y² - xy + 9x - 6y + 20

Answer 1

Экстремум функции двух переменных определяется следующим образом.
1. Определяются точки, в которых обе частные производные (dz/dx и dz/dy) равны 0.
2. Определяются частные производные второго порядка (d²z/dx², d²z/dy², d²z/dxdy), после чего выясняется значение выражения: (d²z/dx²)(d²z/dy²)-(d²z/dxdy)² для каждой найденной точки из п.1.
3. Если значение выражения меньше 0, то данная точка не является ни минимумом, ни максимумом.
Если оно больше 0, то минимум или максимум определяются по знаку второй частной производной по x.
Если оно равно 0, то требуются дополнительные исследования.
------
1. z=1+6x-x²-xy-y²
Определяем частные производные первого порядка:
$\frac{dz}{dx}=6-2x-y\\ \frac{dz}{dy}=-x-2y$

Находим подозрительные на экстремум точки: 
$\left\{{{6-2x-y=0}\atop{-x-2y=0}}\right.\left\{{{6-2x-y=0}\atop{x=-2y}}\right.\left\{{{6-2(-2y)-y=0}\atop{x=-2y}}\right. \\\\ \left\{{{6=-3y}\atop {x=-2y}}\right.\left\{{{y=-2}\atop{x=4}}\right.$

Итак, у нас одна подозрительная точка: (4;-2).

Вычисляем частные производные второго порядка:
$A=\frac{d^2z}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dz}{dx})=\frac{d}{dx}(6-2x-y)=-2\\ C=\frac{d^2z}{dy^2}=\frac{d}{dy}(\frac{dz}{dy})=\frac{d}{dy}(-x-2y)=-2\\ B=\frac{d^2z}{dx~dy}=\frac{d}{dy}(\frac{dz}{dx})=\frac{d}{dy}(6-2x-y)=-1$

Итак, A=-2, B=-2, C=-1

Определяем значение выражения AC-B²:
Δ=AC-B² = (-2)*(-1)-(-2)² = 2-4 = -2

Δ<0 - экстремума нет.

2. z=x²+y²-xy+9x-6y+20

Частные производные первого порядка:
$\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+y^2-xy+9x-6y+20)=2x-y+9\\ \frac{dz}{dy}=\frac{d}{dy}(x^2+y^2-xy+9x-6y+20)=2y-x-6$

$\left\{{{2x-y+9=0}\atop{2y-x-6=0}}\right. \left\{{{y=2x+9}\atop{2(2x+9)-x-6=0}}\right.\left\{{{y=2x+9}\atop{4x+18-x-6=0}}\right. \left\{{{y=2x+9}\atop{3x=-12}}\right.\\\\ \left\{{{y=2x+9}\atop{x=-4}}\right. \left\{{{y=2(-4)+9}\atop{x=-4}}\right. \left\{{{y=1}\atop{x=-4}}\right.$

Подозрительная точка (-4;1).

Производные второго порядка:
$A=\frac{d^2z}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dz}{dx})=\frac{d}{dx}(2x-y+9)=2 \\ C=\frac{d^2z}{dy^2}=\frac{d}{dy}(\frac{dz}{dy})=\frac{d}{dy}(2y-x-6)=2 \\ B=\frac{d^2z}{dx~dy}=\frac{d}{dy}(\frac{d}{dx})=\frac{d}{dy}(2x-y+9)=-1$

Δ = AC-B² = 2*2-(-1)² = 4-1 = 3.
Δ>0 - экстремум есть
A>0 - функция в данной точке имеет минимум

$z_{min}=(-4)^2+(1)^2-(-4)(1)+9(-4)-6(-4)+20=\\16+1+4-36+24+20=29$