Question

Из комбинаторики. найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением a0 = 1; a1 = 0; an = 4an-1 - 4an-2, n > 1

Answer 1

А₀=1; А₁= 0 
$A_{n}= 4 A_{n-1}-4 A_{n-2}$

найдем А₂= 4*0-4*1 =  - 4

Найдем формулу общего члена последовательности 
Аn=K₁*An₋₁+K₂*An₋₂
из нашей последовательности следует что К₁= 4, К₂= - 4

для этого составим характеристическое уравнение которое имеет общий вид
r²=K₁r+K₂
где K₁=4 K₂=-4
получим
r²=4r-4
r²-4r+4=0
D=0
r=2

Таким образом общие решение рекуррентного соотношения имеет вид

$A_{n}= C_{1}* 2^{n-1}+ C_{2}*n* 2^{n-1}$

зададим систему если известно что А₁=0 и А₂=-4

0=С₁*2°+C₂*1*2⁰ ⇒ 0= C₁+C₂⇒ C₁= - C₂
-4= C₁*2¹+C₂*2*2¹⇒ -4 = 2C₁+4C₂

из первого уравнение С₁= - С₂
подставим во второе
-4 = -2С₂ + С₂*4
С₂= - 2 и С₁= 2

подставим в общий вид 

$A_{N}=2* 2^{n-1}-2n* 2^{n-1}= 2^{n}(1-n)$

таким образом общий член последовательности можно задать видом

$A_{n}= 2^{n} (1-n)$