Question

Найти проекцию начала координат на прямую : (x-5)/4=(y-1)/3=(z+3)/-2

Answer 1

Пусть точка $A=(x_1;y_2;z_1)$ является проекцией начала координат на прямую.
Тогда мы можем сказать:
1) что эта точка лежит на прямой (ее координаты удовлетворяют уравнению прямой)
2) вектор из начала координат в точку A - перпендикулярен вектору, образующему прямую.

из первого утверждения выводим:
$y_1 = \frac{3x_1-11}{4}\\z_1=\frac{-x_1-1}{2}$

из второго утверждения получаем:
$(4;3;-2)*(x_1;\frac{3x_1-11}{4};\frac{-x_1-1}{2})=\\=4x_1+3\frac{3x_1-11}{4}+2\frac{x_1+1}{2}=\\=\frac{29x_1}{4}-\frac{29}{4}=0\\x_1=1\\y_1=-2\\z_1=-1$

ответ: $(1;-2;-1)$