Question

1) тело движется по прямой так что расстояние s от начальной точки изменяется no закону s = 3t + t^2 (м), где t - время движения в секундах. найдите скорость тела через 3 с после начала движения. 2) найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х^2 3) тело движется по прямой так, что расстояние s ( в метрах) от него до точки в этой прямой изменяется по закону s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 6 (t - время движения в секундах). чему будет равно ускорение, через 2 секунды движения? 4) дана функция f(x) = 2x^2 - х + 1. найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7. 5) исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х^3 + 9x^2 - 24x.

Answer 1

1) Тело движется по прямой так что расстояние S от начальной точки изменяется no закону S = 3t + t² (м), где t - время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

Решение:
Найдем функцию скорости как производную от функции расстояния по времени:

$v= \frac{dS}{dt}=( 3t+t^2)'=(3t)'+(t^2)'=3+2t$

Найдем значение скорости через 3 с после начала движения
V = 3 + 3² = 3 + 9 = 12 м/с

ответ: 12 м/с

2) Найти точки экстремума функции f(x) = 3 + 7x - 4х²

Решение:
Найдем производную функции

f'(x) = (3 + 7x - 4х²)' = (3)' + (7x)' - (4х²)' = 0 + 7 - 4*2x = 7- 8x

Найдем критические точки
         f'(x)=0  ⇔ 7-8x=0
                            8x=7
                              x=0,875
На числовой прямой отобразим эту точку и знаки производной полученные по методу подстановки. Например при х=0 f'(0)=7>0
    +      0     -
---------!-------------
           0,875             
Функция возрастает на промежутке (-∞;0,875) так как производная на этом интервале числовой прямой больше нуля

Функция убывает на промежутке (0,875;+∞) так как производная на этом интервале числовой прямой меньше нуля

В точке х=0,875 функция имеет локальный максимум.
у(0,875) =3+7*0,875+4*(0,875)² = 12,1875

ответ: х=0,875; y=12,1875 - максимум

3) Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до
точки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t³ - 6t² + 6 (t - время
движения в секундах). Чему будет равно ускорение, через 2 секунды
движения?

Решение:
 Найдем функцию скорости как производную функции расстояния

V(t) =S'(t) = (2t³ - 6t² + 6)' = (2t³)' - (6t²)' + (6)' =2*3t² -6*2t +0 = 6t² -12t (м/с)

Найдем функцию ускорения как производную скорости по времени
 
a(t) = V'(t) = (6t² - 12t)' = (6t²)' - (12t)' = 6*2t  -12 =12t - 12  (м/с²)
Найдем ускорение тела через 2 секунды после начала движения

а(2) =12*2-12=12 м/с²

ответ 12 м/с²

4) Дана функция f(x) = 2x² - х + 1. Найти координаты точки ее графика, в котором угловой коэффициент касательной к нему равен 7.

Решение:
Угловой коэффициент касательной функции в точке равен производной функции в этой точке
Найдем производную функции

f'(x) = (2x² - х + 1)' = 4x-1
Поскольку угловой коэффициент касательной равен 7 то можно записать, что
             4х - 1 = 7
                  4х = 8
                    х = 2
f(2) = 2*2² -2+1 = 8  - 1 =7

ответ: х=2; у=7

  5) Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба f(x) = 2х³+ 9x² - 24x.
Решение:
Найдем первую производную функции
f'(x) = (2х³ + 9x² - 24x)'  =2*3x²+9*2x-24 = 6x² + 18x - 24
Найдем вторую производную функции
f"(x) = (6x² + 18x - 24)' = 6*2x + 18 - 0 =12x+18
Найдем критические точки
f"(x)=0  ⇔ 12x+18 =0
                       12x = -18
                           x=-1,5

На числовой прямой отобразим эту точку и знаки второй производной
     -           0            +
---------------!----------------
               -1,5
Функция вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) так как вторая производная больше нуля

Функция выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5) так как вторая производная меньше нуля

В точке  х=-1,5 функция имеет точку перегиба
y(-1,5) = 2(-1,5)³+ 9(-1,5)² - 24(-1,5) = 49,5

ответ: вогнута вниз на интервале х∈(-1,5;+∞) ; выпукла вверх на интервале х∈(-∞;-1,5);х=-1,5 y=49,5 точка перегиба